Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] f(x) = (1 + 3x) / (5 - 2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função inversa de . Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e entender como determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, denotada por , “desfaz” a ação da função original. Ou seja, se você aplicar e depois , volta pro valor inicial. Para encontrar , seguemos esses passos:
  1. Substituir por :
  2. Trocar por e por :
  3. Resolver a equação para :
    Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
    Distribuindo o :
    Vamos reunir os termos com de um lado:
    Fatorando :
    Isolando :
Então, a função inversa é:

Passo 3

Agora, vamos descobrir o domínio e o conjunto imagem de .
Primeiro, lembrando que:
Passo 3.1: Encontrar o domínio de
O domínio de são todos os valores de que não deixam o denominador zero:
Então,
Passo 3.2: Encontrar o conjunto imagem de
Para encontrar o conjunto imagem, observamos o comportamento da função. A assíntota horizontal é dada por . Assim, a função nunca atinge esse valor.
Portanto,
Passo 3.3: Determinar o domínio e a imagem de
Usando as relações iniciais:

Resposta

A função inversa é:
com domínio e conjunto imagem .

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