Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
g(t)= \begin{cases}e^{-t}, & \text { se } 0 \leq t<5 \\\\ -1, & \text { se } t \geq 5\end{cases}

Passo 1

O enunciado define uma função em dois pedaços e pede sua transformada de Laplace. O conteúdo é usar a função degrau \,u(t-a)\,, a linearidade da transformada e a segunda propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Para escrever g(t) com degraus, note que em 0\le t<5 vale e^{-t} e em t\ge5 vale -1. Usamos
u(t)=1\quad(t\ge0),\qquad u(t-5)=1\quad(t\ge5),
então
g(t)=e^{-t}\bigl(u(t)-u(t-5)\bigr)+(-1)\,u(t-5).

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
G(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}(u(t)-u(t-5))\}+\mathcal{L}\{-u(t-5)\},
ou seja
G(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\}-\mathcal{L}\{e^{-t}u(t-5)\}-\mathcal{L}\{u(t-5)\}.

Passo 4

Calculamos termo a termo:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
Para \mathcal{L}\{e^{-t}u(t-5)\} escrevemos
e^{-t}u(t-5)=e^{-5}\,e^{-(t-5)}u(t-5)
e aplicamos o deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{-t}u(t-5)\} =e^{-5s}\,\frac{e^{-5}}{s+1}.
Finalmente,
\mathcal{L}\{u(t-5)\}=\frac{e^{-5s}}{s}.

Passo 5

Substituindo tudo em G(s):
G(s) =\frac{1}{s+1} -e^{-5s}\,\frac{e^{-5}}{s+1} -\frac{e^{-5s}}{s}.

Resposta

G(s)=\displaystyle \frac{1}{s+1}-\frac{e^{-5s}\,e^{-5}}{s+1}-\frac{e^{-5s}}{s}.

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