Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
f(t)=\left\{\begin{aligned} 2, & \text { se } 0 \leq t<3 \\\\ -2, & \text { se } t \geq 3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função em partes
f(t)=\begin{cases} 2, & 0 \le t<3,\\\\ -2, & t\ge3, \end{cases}
e pede que a escrevamos em termos da função degrau de Heaviside u(t) e, em seguida, calculemos sua transformada de Laplace. Vamos usar a linearidade da transformada e a propriedade de deslocamento em t.

Passo 2

Para escrever f(t) com degraus, note que até t=3 vale 2 e a partir de t=3 muda para -2. Podemos ver f(t) como
2\quad\text{menos uma queda de amplitude }4\text{ em }t=3.
Assim
f(t)=2-4\,u(t-3).

Passo 3

Vamos usar as fórmulas
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s}.
Como \mathcal{L}\{2\}=2\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s} e \mathcal{L}\{4\,u(t-3)\}=4\cdot\frac{e^{-3s}}{s}, pela linearidade
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{2\}-\mathcal{L}\{4\,u(t-3)\} =\frac{2}{s}-\frac{4\,e^{-3s}}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{2}{s}-\frac{4\,e^{-3s}}{s}.

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