Escreva a matriz canônica associada a transformação linear : f(x)=(2 x, 0,-x)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear f definida por
f(x) = (2x,\,0,\,-x).
Os pontos importantes a identificar são:
O domínio é \mathbb{R} (variável escalar x).
O contradomínio é \mathbb{R}^3.
Pede-se a matriz canônica (isto é, a matriz de f relativa às bases canônicas: \{1\} em \mathbb{R} e \{e_1,e_2,e_3\} em \mathbb{R}^3).
Passo 2
Lembrete prático (como construir a matriz canônica): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, a matriz associada nas bases canônicas é uma matriz m\times n cujas colunas são as coordenadas das imagens dos vetores da base canônica do domínio, expressas na base canônica do contradomínio. Aqui n=1 e m=3, então a matriz terá uma única coluna, que é f(1) escrita como vetor em \mathbb{R}^3.
Passo 3
Calcular a imagem do vetor base do domínio (1\in\mathbb{R}):
f(1) = (2\cdot 1,\,0,\,-1\cdot 1) = (2,\,0,\,-1).
Passo 4
A matriz canônica A de f é a coluna formada pelas coordenadas de f(1) na base canônica de \mathbb{R}^3. Assim
A = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: multiplicando A pelo escalar-entrada x (vetor coluna (x) em \mathbb{R}) obtém-se
\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} x = (2x,\,0,\,-x),
ou seja, a matriz reproduz f, como desejado.]
Passo 5
Exemplo numérico para fixar: se x=3, então usando a matriz