Escreva a matriz canônica associada a transformação linear :
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que se pede é escrever a matriz canônica (ou matriz da transformação) associada a
. Vou assumir que por “canônica” se entende a matriz relativa às bases canônicas (padrão) de
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - A regra de
: para qualquer , . - Pede-se a matriz associada a
nas bases canônicas (padrão).
Passo 2
Conceito essencial (explicação curta e didática): a matriz de uma transformação linear
em relação às bases canônicas é obtida aplicando
aos vetores da base canônica do domínio e escrevendo as imagens como colunas, expressas nas coordenadas da base canônica do contradomínio.
O motivo: a ação da matriz sobre um vetor coluna com coordenadas
deve reproduzir
. Cada coluna da matriz é a imagem de um vetor base do domínio.
Passo 3
Escrevendo as bases canônicas:
- Base canônica de
: . - Base canônica de
: .
Vamos calcular
. Essas três imagens formarão as colunas da matriz
(que será uma matriz
).
Passo 4
Calcular
. Tomando
, substitui-se em
:
Portanto
.
Passo 5
Calcular
. Tomando
:
Portanto
.
Passo 6
Calcular
. Tomando
:
Portanto
.
Passo 7
Montar a matriz canônica
colocando as imagens
como colunas, na ordem dos vetores da base
. Assim:
Explicando: a primeira linha contém as primeiras coordenadas das imagens, a segunda linha contém as segundas coordenadas (aqui todas zero). Essa matriz é
e, ao multiplicá-la por
, retorna exatamente
.]
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
:
que coincide com
. Pronto — a matriz está correta.]