Escreva a matriz canônica associada a transformação linear :
f(x, y, z)=(x+y-z, 0)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
f(x,y,z)=(x+y-z,\,0).
O que se pede é escrever a matriz canônica (ou matriz da transformação) associada a f. Vou assumir que por “canônica” se entende a matriz relativa às bases canônicas (padrão) de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Domínio: \mathbb{R}^3.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^2.
  • A regra de f: para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, f(x,y,z)=(x+y-z,\,0).
  • Pede-se a matriz associada a f nas bases canônicas (padrão).

Passo 2

Conceito essencial (explicação curta e didática): a matriz de uma transformação linear f em relação às bases canônicas é obtida aplicando f aos vetores da base canônica do domínio e escrevendo as imagens como colunas, expressas nas coordenadas da base canônica do contradomínio.
O motivo: a ação da matriz sobre um vetor coluna com coordenadas (x,y,z) deve reproduzir f(x,y,z). Cada coluna da matriz é a imagem de um vetor base do domínio.

Passo 3

Escrevendo as bases canônicas:
  • Base canônica de \mathbb{R}^3: \,e_1=(1,0,0),\; e_2=(0,1,0),\; e_3=(0,0,1).
  • Base canônica de \mathbb{R}^2: \,u_1=(1,0),\; u_2=(0,1).
Vamos calcular f(e_1), f(e_2), f(e_3). Essas três imagens formarão as colunas da matriz A (que será uma matriz 2\times3).

Passo 4

Calcular f(e_1). Tomando e_1=(1,0,0), substitui-se em f(x,y,z):
f(1,0,0)=(1+0-0,\,0)=(1,0).
Portanto f(e_1)=(1,0).

Passo 5

Calcular f(e_2). Tomando e_2=(0,1,0):
f(0,1,0)=(0+1-0,\,0)=(1,0).
Portanto f(e_2)=(1,0).

Passo 6

Calcular f(e_3). Tomando e_3=(0,0,1):
f(0,0,1)=(0+0-1,\,0)=(-1,0).
Portanto f(e_3)=(-1,0).

Passo 7

Montar a matriz canônica A colocando as imagens f(e_1),f(e_2),f(e_3) como colunas, na ordem dos vetores da base (e_1,e_2,e_3). Assim:
A=\begin{pmatrix} \;1 & 1 & -1\;\\[4pt] \;0 & 0 & \;0\; \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira linha contém as primeiras coordenadas das imagens, a segunda linha contém as segundas coordenadas (aqui todas zero). Essa matriz é 2\times3 e, ao multiplicá-la por \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, retorna exatamente \begin{pmatrix}x+y-z\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y-z\\\ 0\end{pmatrix},
que coincide com f(x,y,z). Pronto — a matriz está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]