Escreva as matrizes:
a) A= (aij)2x3 tal que aij= i+j
b) A=(aij)3x2 tal que aij= i+j
c) B=(bij)2x2 de modo que bij = 2i-j
d) c=(cij)3x3 tal que cij=0 para i=j / cij=1 para i≠j
e) D =(dij) 2x4, com dij=i-j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever várias matrizes com dimensões e regras específicas para os elementos delas. Esse tipo de problema está na matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como preencher cada posição da matriz usando as fórmulas dadas, como $ a_{ij} = i + j $, por exemplo.

Passo 2

Parte a) $ A = (a_{ij}){2 \times 3} $ tal que $ a{ij} = i + j $.
Vamos montar uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. Cada elemento $ a_{ij} $ é a soma do número da linha $ i $ com o número da coluna $ j $.
  • Para $ i = 1 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow a_{11} = 1 + 1 = 2 $
    • $ j = 2 \Rightarrow a_{12} = 1 + 2 = 3 $
    • $ j = 3 \Rightarrow a_{13} = 1 + 3 = 4 $
  • Para $ i = 2 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow a_{21} = 2 + 1 = 3 $
    • $ j = 2 \Rightarrow a_{22} = 2 + 2 = 4 $
    • $ j = 3 \Rightarrow a_{23} = 2 + 3 = 5 $

Passo 3

Parte b) $ A = (a_{ij}){3 \times 2} $ tal que $ a{ij} = i + j $.
Aqui, a matriz tem 3 linhas e 2 colunas. Vamos calcular cada elemento:
  • Para $ i = 1 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow a_{11} = 1 + 1 = 2 $
    • $ j = 2 \Rightarrow a_{12} = 1 + 2 = 3 $
  • Para $ i = 2 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow a_{21} = 2 + 1 = 3 $
    • $ j = 2 \Rightarrow a_{22} = 2 + 2 = 4 $
  • Para $ i = 3 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow a_{31} = 3 + 1 = 4 $
    • $ j = 2 \Rightarrow a_{32} = 3 + 2 = 5 $

Passo 4

Parte c) $ B = (b_{ij}){2 \times 2} $ de modo que $ b{ij} = 2i - j $.
Vamos construir uma matriz 2x2 onde cada elemento é $ 2i - j $:
  • Para $ i = 1 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow b_{11} = 2(1) - 1 = 1 $
    • $ j = 2 \Rightarrow b_{12} = 2(1) - 2 = 0 $
  • Para $ i = 2 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow b_{21} = 2(2) - 1 = 3 $
    • $ j = 2 \Rightarrow b_{22} = 2(2) - 2 = 2 $

Passo 5

Parte d) $ C = (c_{ij})_{3 \times 3} $ tal que:
  • $ c_{ij} = 0 $ se $ i = j $
  • $ c_{ij} = 1 $ se $ i \neq j $
Isso significa que na diagonal principal (onde linha e coluna são iguais), os elementos serão 0, e os demais serão 1.
Vamos preencher:
  • Para $ i = 1 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow c_{11} = 0 $
    • $ j = 2 \Rightarrow c_{12} = 1 $
    • $ j = 3 \Rightarrow c_{13} = 1 $
  • Para $ i = 2 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow c_{21} = 1 $
    • $ j = 2 \Rightarrow c_{22} = 0 $
    • $ j = 3 \Rightarrow c_{23} = 1 $
  • Para $ i = 3 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow c_{31} = 1 $
    • $ j = 2 \Rightarrow c_{32} = 1 $
    • $ j = 3 \Rightarrow c_{33} = 0 $

Passo 6

Parte e) $ D = (d_{ij}){2 \times 4} $ com $ d{ij} = i - j $.
Vamos montar uma matriz 2x4 onde cada elemento é a diferença entre a linha $ i $ e a coluna $ j $:
  • Para $ i = 1 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow d_{11} = 1 - 1 = 0 $
    • $ j = 2 \Rightarrow d_{12} = 1 - 2 = -1 $
    • $ j = 3 \Rightarrow d_{13} = 1 - 3 = -2 $
    • $ j = 4 \Rightarrow d_{14} = 1 - 4 = -3 $
  • Para $ i = 2 $:
    • $ j = 1 \Rightarrow d_{21} = 2 - 1 = 1 $
    • $ j = 2 \Rightarrow d_{22} = 2 - 2 = 0 $
    • $ j = 3 \Rightarrow d_{23} = 2 - 3 = -1 $
    • $ j = 4 \Rightarrow d_{24} = 2 - 4 = -2 $

Resposta

As matrizes solicitadas são:
a) 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5
b) 2 & 3 3 & 4 4 & 5
c) 1 & 0 3 & 2
d) 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
e) 0 & -1 & -2 & -3 1 & 0 & -1 & -2

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