Escreva os seguintes sistemas na forma matricial:
(b) \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}+x_{4}=-2 \\\\ 4 x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}=-2 \\\\ -2 x_{1}-6 x_{2}+7 x_{3}+7 x_{4}=-16\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema linear e pede que ele seja escrito na forma matricial:
\left\{\begin{array}{l} 2x_{1}+3x_{2}+x_{4}=-2\\[4pt] 4x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3x_{4}=-2\\[4pt] -2x_{1}-6x_{2}+7x_{3}+7x_{4}=-16 \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • 3 equações e 4 incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • A primeira equação não contém termo em x_{3} (isso equivale a coeficiente 0 para x_{3} naquela linha).
  • O objetivo é expressar todo o sistema no formato matricial padrão A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas e \mathbf{b} é o vetor coluna dos termos independentes.]

Passo 2

O que significa escrever um sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}?
  • A matriz A tem uma linha para cada equação e uma coluna para cada incógnita; o elemento a_{ij} é o coeficiente da incógnita x_{j} na equação i.
  • O vetor \mathbf{x} é o vetor coluna com as incógnitas na mesma ordem das colunas de A: aqui escolheremos a ordem \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix}.
  • O vetor \mathbf{b} contém os termos à direita de cada equação, na mesma ordem das linhas.
    Essa forma é útil porque compacta o sistema e permite aplicar operações matriciais (eliminação, inversa, etc.) de modo organizado.

Passo 3

Construção da matriz dos coeficientes A.
  • Para cada equação, escrevemos os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} nessa ordem.
  • Na primeira equação os coeficientes são 2,3,0,1 (note o 0 para x_{3} porque o termo não aparece).
  • Na segunda equação os coeficientes são 4,5,3,3.
  • Na terceira equação os coeficientes são -2,-6,7,7.
    Portanto
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 4 & 5 & 3 & 3\\[4pt] -2 & -6 & 7 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Construção do vetor das incógnitas \mathbf{x} e do vetor dos termos independentes \mathbf{b}.
  • Escolhendo a ordem das incógnitas como \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,, temos
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}.
  • O vetor \mathbf{b} contém os termos do lado direito das equações, na mesma ordem das linhas:
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]-16\end{pmatrix}.]

Passo 5

Juntando tudo: a forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b} do sistema é obtida multiplicando a matriz dos coeficientes pelo vetor das incógnitas e igualando ao vetor dos termos independentes. Para checar mentalmente, a multiplicação da primeira linha de A pelo vetor \mathbf{x} 2x_{1}+3x_{2}+0\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}, que coincide com a primeira equação original.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 4 & 5 & 3 & 3\\[4pt] -2 & -6 & 7 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] x_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\[4pt] -2\\[4pt] -16 \end{pmatrix}]