4.1* Escrevendo
em termos de componentes, mostre que a regra do produto para derivação se aplica ao produto escalar de dois vetores, isto é,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada temporal do produto escalar de dois vetores segue a regra do produto, isto é, provar a igualdade abaixo:
Informações/condições que temos (explícitas ou implícitas):
-
e são vetores cujas componentes são funções de . - Podemos escrever as componentes como
e . - A definição do produto escalar em componentes será usada.
Nada mais é pedido além de provar a igualdade acima.
Passo 2
Definição em componentes do produto escalar. Por definição, o produto escalar de
e
é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
Aqui cada
e
é uma função escalar de
, e o somatório vai de
até
(caso usual em
). Esta expressão é um número (uma função escalar de
).
Passo 3
Lembrando duas propriedades básicas de derivadas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em símbolos, para funções
,
Isto vale porque o limite que define a derivada preserva soma.
- Regra do produto para escalares: para duas funções escalares
e vale
Isto é a regra do produto usual para funções reais; pode ser provado diretamente pelo limite do quociente incremental, mas aqui basta aceitá-la como conhecida.
Passo 4
Aplicar a linearidade da derivada à expressão do produto escalar escrita em soma:
Explicação: trocamos a derivada com a soma porque a derivada é uma operação linear; assim a derivada do somatório é o somatório das derivadas de cada termo.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto escalar a cada termo
:
Aqui escrevi
para
e similarmente para
. Cada termo é tratado como produto de duas funções escalares.
Passo 6
Separar a soma em duas somas e reorganizar:
Isto é apenas a decomposição da soma de somas em duas somas separadas.
Passo 7
Reconhecer cada soma como um produto escalar entre vetores derivados ou originais. Definindo o vetor derivada componente a componente:
temos pelas definições de produto escalar:
Passo 8
Juntando tudo, obtemos exatamente a identidade desejada:
Isto conclui a demonstração. (Intuitivamente: o produto escalar é uma soma de produtos escalares de componentes, aplicamos regra do produto a cada par de componentes e somamos.)
Passo 9
Exemplo concreto para fixar a ideia: tome
e
.
Calculemos os dois lados em rapidamente:
Calculemos os dois lados em
-
Logo, e em isso vale . -
, .
Então.
E.
Somando:, que em também dá . Bingo — confere com o lado direto.