4.1* Escrevendo \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} em termos de componentes, mostre que a regra do produto para derivação se aplica ao produto escalar de dois vetores, isto é,
\frac{d}{d t}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\frac{d \mathbf{a}}{d t} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \frac{d \mathbf{b}}{d t} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada temporal do produto escalar de dois vetores segue a regra do produto, isto é, provar a igualdade abaixo:
\frac{d}{d t}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\frac{d \mathbf{a}}{d t} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \frac{d \mathbf{b}}{d t}.
Informações/condições que temos (explícitas ou implícitas):
  • \mathbf{a}=\mathbf{a}(t) e \mathbf{b}=\mathbf{b}(t) são vetores cujas componentes são funções de t.
  • Podemos escrever as componentes como \mathbf{a}(t)=(a_1(t),a_2(t),\dots,a_n(t)) e \mathbf{b}(t)=(b_1(t),b_2(t),\dots,b_n(t)).
  • A definição do produto escalar em componentes será usada.
    Nada mais é pedido além de provar a igualdade acima.

Passo 2

Definição em componentes do produto escalar. Por definição, o produto escalar de \mathbf{a} e \mathbf{b} é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
\mathbf{a}(t)\cdot\mathbf{b}(t)=\sum_{i=1}^{n} a_i(t)\,b_i(t).
Aqui cada a_i(t) e b_i(t) é uma função escalar de t, e o somatório vai de i=1 até i=n (caso usual em \mathbb{R}^n). Esta expressão é um número (uma função escalar de t).

Passo 3

Lembrando duas propriedades básicas de derivadas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em símbolos, para funções f_i(t),
\frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^n f_i(t)\right)=\sum_{i=1}^n \frac{d}{dt}f_i(t).
Isto vale porque o limite que define a derivada preserva soma.
  • Regra do produto para escalares: para duas funções escalares u(t) e v(t) vale
\frac{d}{dt}\big(u(t)\,v(t)\big)=\frac{d u}{dt}\,v(t)+u(t)\,\frac{d v}{dt}.
Isto é a regra do produto usual para funções reais; pode ser provado diretamente pelo limite do quociente incremental, mas aqui basta aceitá-la como conhecida.

Passo 4

Aplicar a linearidade da derivada à expressão do produto escalar escrita em soma:
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\big) = \frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^{n} a_i(t)\,b_i(t)\right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dt}\big(a_i(t)\,b_i(t)\big).
Explicação: trocamos a derivada com a soma porque a derivada é uma operação linear; assim a derivada do somatório é o somatório das derivadas de cada termo.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto escalar a cada termo a_i(t)\,b_i(t):
\sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dt}\big(a_i\,b_i\big) = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d a_i}{dt}\,b_i + a_i\,\frac{d b_i}{dt}\right).
Aqui escrevi \dfrac{d a_i}{dt} para \dfrac{d}{dt}a_i(t) e similarmente para b_i. Cada termo é tratado como produto de duas funções escalares.

Passo 6

Separar a soma em duas somas e reorganizar:
\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d a_i}{dt}\,b_i + a_i\,\frac{d b_i}{dt}\right) = \sum_{i=1}^{n}\frac{d a_i}{dt}\,b_i \;+\; \sum_{i=1}^{n} a_i\,\frac{d b_i}{dt}.
Isto é apenas a decomposição da soma de somas em duas somas separadas.

Passo 7

Reconhecer cada soma como um produto escalar entre vetores derivados ou originais. Definindo o vetor derivada componente a componente:
\frac{d\mathbf{a}}{dt}=\left(\frac{d a_1}{dt},\frac{d a_2}{dt},\dots,\frac{d a_n}{dt}\right), \qquad \frac{d\mathbf{b}}{dt}=\left(\frac{d b_1}{dt},\frac{d b_2}{dt},\dots,\frac{d b_n}{dt}\right),
temos pelas definições de produto escalar:
\sum_{i=1}^{n}\frac{d a_i}{dt}\,b_i = \frac{d\mathbf{a}}{dt}\cdot\mathbf{b}, \qquad \sum_{i=1}^{n} a_i\,\frac{d b_i}{dt} = \mathbf{a}\cdot\frac{d\mathbf{b}}{dt}.

Passo 8

Juntando tudo, obtemos exatamente a identidade desejada:
\frac{d}{dt}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\cdot\frac{d\mathbf{b}}{dt}.
Isto conclui a demonstração. (Intuitivamente: o produto escalar é uma soma de produtos escalares de componentes, aplicamos regra do produto a cada par de componentes e somamos.)

Passo 9

Exemplo concreto para fixar a ideia: tome \mathbf{a}(t)=(t,t^2,1) e \mathbf{b}(t)=(1,2t,t^3).
Calculemos os dois lados em t=1 rapidamente:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=t\cdot1 + t^2\cdot2t + 1\cdot t^3 = t + 2t^3 + t^3 = t + 3t^3.
    Logo \dfrac{d}{dt}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) = 1 + 9t^2, e em t=1 isso vale 10.
  • \dfrac{d\mathbf{a}}{dt}=(1,2t,0), \dfrac{d\mathbf{b}}{dt}=(0,2,3t^2).
    Então \dfrac{d\mathbf{a}}{dt}\cdot\mathbf{b} = 1\cdot1 + 2t\cdot2t + 0\cdot t^3 = 1 + 4t^2.
    E \mathbf{a}\cdot\dfrac{d\mathbf{b}}{dt} = t\cdot0 + t^2\cdot2 + 1\cdot3t^2 = 2t^2 + 3t^2 = 5t^2.
    Somando: 1+4t^2 + 5t^2 = 1 + 9t^2, que em t=1 também dá 10. Bingo — confere com o lado direto.

Resposta

\frac{d}{d t}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\frac{d \mathbf{a}}{d t} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \frac{d \mathbf{b}}{d t}.

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