Uma esfera de cobre de raio 4 cm está carregada com uma carga total uniformemente distribuída de 5 \mu \mathrm{C}, no espaço livre. (a) Use a lei de Gauss para achar \mathbf{D} externo à esfera. (b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrostático.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de cobre (condutor) de raio 4\\ \mathrm{cm} carregada com carga total 5\\ \mu\mathrm{C}, no espaço livre, e pede duas coisas:
  • (a) Usar a lei de Gauss para achar \mathbf{D} externo à esfera.
  • (b) Calcular a energia total armazenada no campo eletrostático.
Informações importantes dadas:
Q = 5\\ \mu\mathrm{C} = 5\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},
a = 4\\ \mathrm{cm} = 0,04\\ \mathrm{m},
o meio é espaço livre (constante \varepsilon_0), e a esfera é de cobre (condutor), o que implica que o campo elétrico no interior do condutor é nulo em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Recordando a forma integral da lei de Gauss para \mathbf{D}:
\oint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga livre dentro da superfície fechada S.
Escolhemos S como uma superfície esférica de raio r centrada na esfera carregada, com r>a. Por simetria esférica o campo \mathbf{D} será radial e de mesma magnitude em toda a superfície escolhida, ou seja \mathbf{D}(r)=D(r)\,\hat{r}. O elemento de área é d\mathbf{A}=\hat{r}\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e a integral sobre a esfera dá 4\pi r^{2}D(r).
Aplicando Gauss:
4\pi r^{2}D(r)=Q_{\text{enc}}.
Para r>a a superfície envolve toda a carga Q, então Q_{\text{enc}}=Q. Assim
D(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\quad\text{para }r>a,
com direção radial para fora, isto é
\mathbf{D}(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\hat{r}\quad (r>a).
Comentário sobre o interior: como a esfera é condutora, o campo elétrico \mathbf{E} no interior é zero, logo \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}=0 para r<a.

Passo 3

Explico por que usamos essa forma: em espaço livre \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}. A simetria esférica faz com que todas as linhas de \mathbf{D} saiam radialmente e com densidade que depende só de r. A lei de Gauss aplicada a uma esfera centrada reduz a um problema de álgebra simples porque \mathbf{D} é constante sobre a superfície esférica escolhida.

Passo 4

Agora vamos calcular a energia eletrostática total. A densidade de energia no campo elétrico, em meios lineares isotrópicos, é
u=\tfrac{1}{2}\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}=\tfrac{1}{2}E\,D.
Em espaço livre \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}, então também podemos usar u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^{2}.
Para r>a temos
E(r)=\frac{D(r)}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}.
Calculamos u(r):
u(r)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\right)^{2} =\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_0 r^{4}}.
A energia total W é a integral da densidade sobre todo o volume do espaço. Como dentro do condutor ( r<a) o campo é zero, a contribuição vem só de r=a até r=\infty. Usamos o elemento de volume esférico dV=4\pi r^{2}dr:
W=\int_{r=a}^{\infty} u(r)\,4\pi r^{2}\,dr =\int_{a}^{\infty}\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_0 r^{4}}\,4\pi r^{2}\,dr.
Simplificando os fatores constantes:
W=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0}\int_{a}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
A integral é simples:
\int_{a}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{\infty}=\frac{1}{a}.
Portanto
W=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0 a}.
Observação alternativa rápida: como o potencial na superfície da esfera é V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}, a energia também pode ser obtida por W=\tfrac{1}{2}QV=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0 a}, que dá o mesmo resultado.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos para W. Usamos \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, Q=5\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e a=0,04\\ \mathrm{m}.
Escrevendo a fórmula:
W=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0 a}.
Calculando:
Q^{2}=(5\times10^{-6})^{2}=25\times10^{-12}=2{,}5\times10^{-11}\\ \mathrm{C}^{2},
8\pi\varepsilon_0 a \approx 8\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}\cdot 0{,}04 \approx 8{,}897278\times10^{-12}\\ \mathrm{(SI)}.
Logo
W\approx\frac{2{,}5\times10^{-11}}{8{,}897278\times10^{-12}}\\ \mathrm{J}\approx 2{,}81\\ \mathrm{J}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\hat{r}\quad(r>a)\n \displaystyle W=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0 a}\approx 2{,}81\\ \mathrm{J}

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