Uma esfera de raio R tem a seguinte densidade de carga:
rho=(1-e^-rR) r <= R
Calcule o potencial e o campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o potencial elétrico e o campo elétrico dentro e fora de uma esfera que tem uma distribuição de carga específica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e as relações entre carga, campo e potencial elétrico. Vamos resolver passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de carga da esfera. A densidade de carga rho é dada por:
rho = (1 - e^-rR) para r <= R
Aqui, r é a distância do centro da esfera, e R é o raio da esfera. Isso significa que a densidade de carga varia com a distância do centro.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera ( r <= R). Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada. A Lei de Gauss é dada por:
oint E cdot dA = Qinvarepsilon0
Como a simetria é esférica, o campo elétrico E só depende de r e aponta radialmente. Então, a integral simplifica para:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qinvarepsilon0
Portanto, o campo elétrico é:
E(r) = Qin4pi varepsilon0 r^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga interna Qin dentro de um raio r <= R. A carga interna é a integral da densidade de carga sobre o volume até o raio r:
Qin = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'
Substituindo rho(r'):
Qin = integral0^r (1 - e^-r'R) cdot 4pi r'^2 dr'
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Qin = 4pi integral0^r (r'^2 - r'^2 e^-r'R) dr'
Isso pode ser separado em duas integrais:
Qin = 4pi ( integral0^r r'^2 dr' - integral0^r r'^2 e^-r'R dr' )
A primeira integral é direta:
integral0^r r'^2 dr' = r^33
A segunda integral envolve uma função exponencial multiplicada por r'^2. Podemos resolver isso por integração por partes ou usando tabelas de integrais:
integral r'^2 e^-r'R dr' = -R r'^2 e^-r'R - 2R^2 r' e^-r'R - 2R^3 e^-r'R + C
Aplicando os limites de 0 a r:
integral0^r r'^2 e^-r'R dr' = -R r^2 e^-rR - 2R^2 r e^-rR - 2R^3 e^-rR + 2R^3

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de Qin:
Qin = 4pi ( r^33 - ( -R r^2 e^-rR - 2R^2 r e^-rR - 2R^3 e^-rR + 2R^3 ) )
Simplificando:
Qin = 4pi ( r^33 + R r^2 e^-rR + 2R^2 r e^-rR + 2R^3 e^-rR - 2R^3 )

Passo 7

Agora, substituindo Qin na expressão do campo elétrico:
E(r) = 4pi ( r^33 + R r^2 e^-rR + 2R^2 r e^-rR + 2R^3 e^-rR - 2R^3 )4pi varepsilon0 r^2
Cancelando 4pi e simplificando:
E(r) = r^33 + R r^2 e^-rR + 2R^2 r e^-rR + 2R^3 e^-rR - 2R^3 varepsilon0 r^2
Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo por r^2:
E(r) = r3varepsilon0 + R e^-rRvarepsilon0 + 2R^2 e^-rRvarepsilon0 r + 2R^3 e^-rRvarepsilon0 r^2 - 2R^3varepsilon0 r^2

Passo 8

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r) dentro da esfera. Sabemos que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(r) = - integralinfty^r E(r') dr'
No entanto, como estamos lidando com r <= R e a esfera tem carga limitada a r <= R, podemos ajustar os limites da integral. Integrando o campo elétrico que encontramos:
V(r) = - integralr^R E(r') dr' + V(R)
Aqui, V(R) é o potencial na superfície da esfera, que vamos encontrar mais tarde.

Passo 9

Para encontrar V(R), precisamos calcular o potencial fora da esfera ( r >= R). Fora da esfera, a carga total é:
Qtotal = Q(r=R) = 4pi ( R^33 + R cdot R^2 e^-1 + 2R^2 cdot R e^-1 + 2R^3 e^-1 - 2R^3 )
Simplificando:
Qtotal = 4pi ( R^33 + R^3 e^-1 + 2R^3 e^-1 + 2R^3 e^-1 - 2R^3 ) = 4pi ( R^33 + 5R^3 e^-1 - 2R^3 )

Passo 10

O potencial fora da esfera é o mesmo que o de uma carga pontual:
V(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r para r >= R
Portanto, na superfície r = R:
V(R) = Qtotal4pi varepsilon0 R

Passo 11

Com V(R) conhecido, podemos voltar à integral para V(r) dentro da esfera:
V(r) = - integralr^R E(r') dr' + Qtotal4pi varepsilon0 R
Substituindo E(r') e realizando a integração, obteremos a expressão completa para V(r) dentro da esfera. Devido à complexidade da integral, ela pode ser resolvida numericamente ou utilizando métodos avançados de cálculo.

Passo 12

Finalmente, resumindo:
  • Campo Elétrico:
    • Dentro da esfera ( r <= R):
      E(r) = r3 + R e^-rR + 2R^2 e^-rRr + 2R^3 e^-rRr^2 - 2R^3r^2 varepsilon0
    • Fora da esfera ( r >= R):
      E(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r^2
  • Potencial Elétrico:
    • Dentro da esfera ( r <= R):
      V(r) = - integralr^R E(r') dr' + Qtotal4pi varepsilon0 R
    • Fora da esfera ( r >= R):
      V(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r

Resposta

Finalizando, o campo elétrico e o potencial elétrico para a esfera com densidade de carga rho = (1 - e^-rR) são:
  • Campo Elétrico:
    • Dentro da esfera ( r <= R):
      E(r) = r3 + R e^-rR + 2R^2 e^-rRr + 2R^3 e^-rRr^2 - 2R^3r^2 varepsilon0
    • Fora da esfera ( r >= R):
      E(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r^2
  • Potencial Elétrico:
    • Dentro da esfera ( r <= R):
      V(r) = - integralr^R E(r') dr' + Qtotal4pi varepsilon0 R
    • Fora da esfera ( r >= R):
      V(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r
Essas expressões descrevem como o campo e o potencial elétrico se comportam tanto dentro quanto fora da esfera com a distribuição de carga dada.

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