Uma esfera de raio
tem a seguinte densidade de carga:
Calcule o potencial e o campo elétrico dentro e fora da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o potencial elétrico e o campo elétrico dentro e fora de uma esfera que tem uma distribuição de carga específica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e as relações entre carga, campo e potencial elétrico. Vamos resolver passo a passo para facilitar o entendimento!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de carga da esfera. A densidade de carga
é dada por:
Aqui,
é a distância do centro da esfera, e
é o raio da esfera. Isso significa que a densidade de carga varia com a distância do centro.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera (
). Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada. A Lei de Gauss é dada por:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico
só depende de
e aponta radialmente. Então, a integral simplifica para:
Portanto, o campo elétrico é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a carga interna
dentro de um raio
. A carga interna é a integral da densidade de carga sobre o volume até o raio
:
Substituindo
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Isso pode ser separado em duas integrais:
A primeira integral é direta:
A segunda integral envolve uma função exponencial multiplicada por
. Podemos resolver isso por integração por partes ou usando tabelas de integrais:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituindo
na expressão do campo elétrico:
Cancelando
e simplificando:
Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo por
:
Passo 8
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
dentro da esfera. Sabemos que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
No entanto, como estamos lidando com
e a esfera tem carga limitada a
, podemos ajustar os limites da integral. Integrando o campo elétrico que encontramos:
Aqui,
é o potencial na superfície da esfera, que vamos encontrar mais tarde.
Passo 9
Para encontrar
, precisamos calcular o potencial fora da esfera (
). Fora da esfera, a carga total é:
Simplificando:
Passo 10
O potencial fora da esfera é o mesmo que o de uma carga pontual:
Portanto, na superfície
:
Passo 11
Com
conhecido, podemos voltar à integral para
dentro da esfera:
Substituindo
e realizando a integração, obteremos a expressão completa para
dentro da esfera. Devido à complexidade da integral, ela pode ser resolvida numericamente ou utilizando métodos avançados de cálculo.
Passo 12
Finalmente, resumindo:
-
Campo Elétrico:
-
Dentro da esfera (
): -
Fora da esfera (
):
-
-
Potencial Elétrico:
-
Dentro da esfera (
): -
Fora da esfera (
):
-
Resposta
Finalizando, o campo elétrico e o potencial elétrico para a esfera com densidade de carga
são:
-
Campo Elétrico:
-
Dentro da esfera (
): -
Fora da esfera (
):
-
-
Potencial Elétrico:
-
Dentro da esfera (
): -
Fora da esfera (
):
-
Essas expressões descrevem como o campo e o potencial elétrico se comportam tanto dentro quanto fora da esfera com a distribuição de carga dada.