1. Uma esfera sólida de 95 kg com um raio de 12 cm é suspensa por um fio vertical preso ao teto de uma sala. Um torque de magnitude 0,02 Nm é necessário para girar a esfera de um ângulo de 0.85 rad . Qual é o período da oscilação, quando a esfera é liberada dessa posição? [Sol: 9,6 pi s].

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo torsional: uma esfera sólida de massa M=95 kg e raio R=0,12 m está suspensa por um fio que exerce um torque restaurador proporcional ao ângulo theta. Para pequenas oscilações, usamos a relação
tau = kappa,theta
onde kappa é a constante de torção, e o período de oscilação é dado por
T = 2piraizIkappa,
sendo I o momento de inércia da esfera sólida,
I = 25 M R^2

Passo 2

Da informação de que é preciso um torque de tau=0,02 Ncdot m para girar a esfera de theta=0,85 rad, obtemos
kappa = tautheta = 0,020,85 approx 0,0235 Ncdotm/rad

Passo 3

O momento de inércia de uma esfera sólida em torno do seu eixo é
I = 25 M R^2 = 25cdot 95 cdot (0,12)^2 approx 0,5472 kgcdotm^2

Passo 4

Substituindo I e kappa na fórmula do período, temos
T = 2pi raizIkappa

Passo 5

Fazendo as contas,
Ikappa approx 0,54720,0235 approx 23,26, raiz23,26approx 4,82,
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T = 2pi times 4,82 approx 30,3 s approx 9,6pi s

Resposta

T = 9,6pi s

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