O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: ©
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão fala sobre duas esferas concêntricas, com raios
a e b, preenchidas entre elas por um dielétrico com densidade de carga uniforme, ρ. Queremos encontrar o potencial elétrico V em função da distância r do centro das esferas, especificamente para r < a.Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar esse campo para achar o potencial elétrico. Vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta dentro de uma distribuição de carga uniforme e como ele se relaciona com o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que estamos analisando:
r < a. Nesse caso, estamos dentro da esfera interna. Como as esferas são concêntricas e a carga está distribuída entre a e b, dentro de r < a não há carga presente. Isso significa que o campo elétrico nessa região é zero.Matematicamente, usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo elétrico através de uma superfície esférica é proporcional à carga interna. Como não há carga dentro de
r < a, o campo elétrico E é:Passo 3
Com o campo elétrico
E(r) = 0 dentro de r < a, podemos encontrar o potencial elétrico V(r). Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:Como
E(r) = 0, então:Isso significa que o potencial elétrico
V(r) é constante nessa região.Passo 4
Para determinar o valor dessa constante, precisamos considerar a continuidade do potencial na fronteira
r = a. O potencial deve ser contínuo em toda a região, então o potencial em r < a deve ser igual ao potencial em r = a.Vamos supor que já calculamos o potencial para
r >= a na parte anterior do exercício e encontramos que em r = a, o potencial é V(a). Assim, para r < a, o potencial será igual a V(a).Resposta
Para
r < a, o potencial elétrico é constante e igual ao potencial na fronteira r = a. Portanto,