No espaço livre, a densidade de fluxo magnético é
a) Demonstre que
é um campo magnético.
b) Determine o fluxo magnético através de
.
c) Calcule
.
b) Determine o fluxo magnético através de
c) Calcule
Passo 1
O enunciado fornece o campo magnético (no espaço livre)
e pede três coisas:
- (a) mostrar que
é um campo magnético (ou seja, verificar a condição exigida no espaço livre); - (b) determinar o fluxo magnético através da superfície plana dada por
com e ; - (c) calcular a densidade de corrente
.
Informações relevantes dadas:
- Componentes de
: , , . - Superfície para o fluxo: plano
, retângulo com e .
Passo 2
Conceito usado para (a): no espaço livre (e em magnetostática) o campo magnético deve satisfazer a lei de Gauss para o magnetismo, que diz que a divergência de
é zero:
Explicando o operador divergência de forma simples: para um campo
,
Agora aplicamos isso a
. Calculamos cada derivada parcial explicitamente:
Somando,
Conclusão da parte (a): como
,
satisfaz a condição necessária em espaço livre e, portanto, é um campo magnético fisicamente admissível (satisfeita a lei de Gauss para o magnetismo).
Passo 3
Preparando para (b): definição de fluxo magnético. O fluxo magnético através de uma superfície
é
onde
é o vetor área elementar (módulo igual à área elementar
e direção dada pela normal escolhida). Para a superfície plana
a normal conveniente é
(escolho a orientação positiva no sentido
). Assim
O produto escalar no integrando simplifica porque só a componente
contribui:
avaliado em
(note que
não depende de
, então colocar
não muda
). Agora fazemos a integral dupla sobre o retângulo
:
Calcule a integral em
:
Agora a integral em
:
Multiplicando:
Unidade: como
está em tesla e a área em
, o fluxo é
(weber).
Passo 4
Preparando para (c): relação entre
e
em espaço livre (equação de Maxwell–Ampère na forma estática) é
onde
é a permeabilidade do vácuo. Assim
Explicando o operador rotacional (curl): para
,
Aplicando a
(com
) calculamos cada componente do rotacional, escrevendo as derivadas passo a passo:
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Portanto
Finalmente, usando
,
Unidade:
tem unidade de
.
Passo 5
Observações finais rápidas e encorajamento: verifique sempre que as derivadas parciais foram feitas com cuidado (por exemplo, atenção a quais variáveis cada componente depende). Se algo parecer estranho, lembre que a divergência de um rotacional é sempre zero, então
e assim
aqui (consistência com conservação de carga no regime estacionário). Boa! Você já tem as respostas e os procedimentos para aplicar em exercícios parecidos — repita o mesmo passo a passo com campos diferentes que você encontra na prova.
Resposta
a)
, logo
é compatível com um campo magnético em espaço livre.
b)
.
c)
.