No espaço livre, a densidade de fluxo magnético é
\vec{B}=y^{2} \hat{a}_{x}+z^{2} \hat{a}_{y}+x^{2} \hat{a}_{z} \mathrm{~T}
a) Demonstre que \vec{B} é um campo magnético.
b) Determine o fluxo magnético através de x=1,0 \leq y \leq 1,1 \leq z \leq 4.
c) Calcule \vec{J}.

Passo 1

O enunciado fornece o campo magnético (no espaço livre)
\vec{B}=y^{2}\,\hat{a}_{x}+z^{2}\,\hat{a}_{y}+x^{2}\,\hat{a}_{z}\\ \text{T}
e pede três coisas:
  • (a) mostrar que \vec{B} é um campo magnético (ou seja, verificar a condição exigida no espaço livre);
  • (b) determinar o fluxo magnético através da superfície plana dada por x=1 com 0\le y\le1 e 1\le z\le4;
  • (c) calcular a densidade de corrente \vec{J}.
Informações relevantes dadas:
  • Componentes de \vec{B}: B_x=y^{2}, B_y=z^{2}, B_z=x^{2}.
  • Superfície para o fluxo: plano x=1, retângulo com y\in[0,1] e z\in[1,4].

Passo 2

Conceito usado para (a): no espaço livre (e em magnetostática) o campo magnético deve satisfazer a lei de Gauss para o magnetismo, que diz que a divergência de \vec{B} é zero:
\nabla\cdot\vec{B}=0.
Explicando o operador divergência de forma simples: para um campo \vec{F}=F_x\hat{a}_x+F_y\hat{a}_y+F_z\hat{a}_z,
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Agora aplicamos isso a \vec{B}. Calculamos cada derivada parcial explicitamente:
\frac{\partial B_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big)=0, \qquad \frac{\partial B_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(z^{2}\big)=0, \qquad \frac{\partial B_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}\big)=0.
Somando,
\nabla\cdot\vec{B}=0+0+0=0.
Conclusão da parte (a): como \nabla\cdot\vec{B}=0, \vec{B} satisfaz a condição necessária em espaço livre e, portanto, é um campo magnético fisicamente admissível (satisfeita a lei de Gauss para o magnetismo).

Passo 3

Preparando para (b): definição de fluxo magnético. O fluxo magnético através de uma superfície S é
\Phi=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S},
onde d\vec{S}=\hat{n}\,dS é o vetor área elementar (módulo igual à área elementar dS e direção dada pela normal escolhida). Para a superfície plana x=1 a normal conveniente é \hat{a}_{x} (escolho a orientação positiva no sentido +\hat{a}_x). Assim
d\vec{S}=\hat{a}_x\,dy\,dz.
O produto escalar no integrando simplifica porque só a componente B_x contribui:
\vec{B}\cdot d\vec{S}=B_x\,dy\,dz = y^{2}\,dy\,dz,
avaliado em x=1 (note que B_x=y^2 não depende de x, então colocar x=1 não muda B_x). Agora fazemos a integral dupla sobre o retângulo y\in[0,1],\,z\in[1,4]:
\Phi=\int_{z=1}^{4}\int_{y=0}^{1} y^{2}\,dy\,dz.
Calcule a integral em y:
\int_{y=0}^{1} y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Agora a integral em z:
\int_{z=1}^{4} dz = 4-1=3.
Multiplicando:
\Phi = 3\cdot\frac{1}{3}=1.
Unidade: como \vec{B} está em tesla e a área em \mathrm{m}^2, o fluxo é 1\\ \mathrm{T\,m^{2}}=1\\ \mathrm{Wb} (weber).

Passo 4

Preparando para (c): relação entre \vec{B} e \vec{J} em espaço livre (equação de Maxwell–Ampère na forma estática) é
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Assim
\vec{J}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\nabla\times\vec{B}.
Explicando o operador rotacional (curl): para \vec{F}=F_x\hat{a}_x+F_y\hat{a}_y+F_z\hat{a}_z,
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{a}_x +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{a}_y +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{a}_z.
Aplicando a \vec{B} (com B_x=y^{2},\,B_y=z^{2},\,B_z=x^{2}) calculamos cada componente do rotacional, escrevendo as derivadas passo a passo:
Componente \hat{a}_x:
\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial z}\big(z^{2}\big) =0-2z=-2z.
Componente \hat{a}_y:
\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial z}\big(y^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big) =0-2x=-2x.
Componente \hat{a}_z:
\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big) =0-2y=-2y.
Portanto
\nabla\times\vec{B}=-2z\,\hat{a}_x-2x\,\hat{a}_y-2y\,\hat{a}_z.
Finalmente, usando \vec{J}=\dfrac{1}{\mu_0}\nabla\times\vec{B},
\vec{J}=-\dfrac{2}{\mu_0}\big(z\,\hat{a}_x+x\,\hat{a}_y+y\,\hat{a}_z\big).
Unidade: \vec{J} tem unidade de \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 5

Observações finais rápidas e encorajamento: verifique sempre que as derivadas parciais foram feitas com cuidado (por exemplo, atenção a quais variáveis cada componente depende). Se algo parecer estranho, lembre que a divergência de um rotacional é sempre zero, então \nabla\cdot(\nabla\times\vec{B})=0 e assim \nabla\cdot\vec{J}=0 aqui (consistência com conservação de carga no regime estacionário). Boa! Você já tem as respostas e os procedimentos para aplicar em exercícios parecidos — repita o mesmo passo a passo com campos diferentes que você encontra na prova.

Resposta

a) \nabla\cdot\vec{B}=0, logo \vec{B} é compatível com um campo magnético em espaço livre.
b) \Phi=\displaystyle\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=1\\ \mathrm{Wb}.
c) \displaystyle \vec{J}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla\times\vec{B}=-\frac{2}{\mu_{0}}\big(z\,\hat{a}_x+x\,\hat{a}_y+y\,\hat{a}_z\big)\\ \mathrm{A/m^{2}}.

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