Seja um condutor cilíndrico de raio a=2 \mathrm{~mm} conduzindo uma corrente constante I=10 A no sentido \hat{a}_{z}, cuja densidade de corrente \vec{J} é constante no interior do condutor (corrente uniformemente distribuída). Determine \vec{H} em:
\rho=10 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo que vem a seguir foi tirado do enunciado):
  • Raio do condutor: a=2\\ \mathrm{mm}.
  • Corrente total que atravessa o condutor: I=10\\ \mathrm{A}, no sentido \hat{a}_z (para cima).
  • A densidade de corrente \vec{J} é constante dentro do condutor (corrente uniformemente distribuída).
  • Pede-se o vetor \vec{H} no ponto a distância radial \rho=10\\ \mathrm{mm} do eixo (ou seja, estamos fora do condutor, pois \rho>a).

Passo 2

Vamos usar a forma integral da lei de Ampère para o campo \vec{H}. A lei diz:
\oint \vec{H}\cdot d\vec{l} = I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente elétrica atravessando a superfície limitada pelo caminho de integração. A ideia prática para problemas com condutor cilíndrico é escolher um caminho amperiano circular de raio \rho centrado no eixo do condutor, porque a geometria é simétrica: o campo magnético tem a mesma magnitude em todo esse círculo e é tangente (na direção azimutal). Assim podemos escrever, para a componente azimutal H_\varphi(\rho):
H_\varphi(\rho)\cdot (2\pi \rho) = I_{\text{enc}}.
Explicando devagar: \vec{H} é paralelo a d\vec{l} ao longo do círculo, e o comprimento do círculo é 2\pi\rho. Então a integral vira H_\varphi(\rho)\times 2\pi\rho.

Passo 3

Precisamos do valor de I_{\text{enc}} quando \rho=10\\ \mathrm{mm}. Como \rho=10\\ \mathrm{mm}>a=2\\ \mathrm{mm}, o caminho incorpora todo o condutor, logo a corrente encerrada é a corrente total:
I_{\text{enc}} = I = 10\\ \mathrm{A}.
(Obs. pedagógica: se estivéssemos dentro do condutor ( \rho<a) teríamos I_{\text{enc}} = J\cdot \pi \rho^2, com J=I/(\pi a^2) porque a corrente é uniformemente distribuída. Aqui não precisamos disso porque estamos fora.)

Passo 4

Agora isolamos H_\varphi(\rho) da expressão de Ampère:
H_\varphi(\rho) = \frac{I_{\text{enc}}}{2\pi \rho}.
Substituindo I_{\text{enc}}=I e \rho=10\\ \mathrm{mm}=10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
H_\varphi(10\\ \mathrm{mm}) = \frac{10}{2\pi(10\times10^{-3})}\\ \mathrm{A/m}.
Calculemos passo a passo:
2\pi(10\times10^{-3}) = 0{,}02\pi,
\frac{10}{0{,}02\pi}=\frac{10}{\tfrac{2\pi}{100}}=\frac{10\cdot100}{2\pi}=\frac{500}{\pi}\\ \mathrm{A/m}\approx 159{,}16\\ \mathrm{A/m}.

Passo 5

Direção: pelo sentido da regra da mão direita (corrente em +\hat{a}_z), o campo circula em torno do eixo no sentido de aumento de \varphi. Portanto o vetor \vec{H} aponta na direção \hat{a}_\varphi. Assim:
\vec{H}(\rho=10\\ \mathrm{mm}) = H_\varphi\,\hat{a}_\varphi.

Resposta

\displaystyle \vec{H}(\rho=10\\ \mathrm{mm})=\frac{I}{2\pi\rho}\,\hat{a}_\varphi=\frac{10}{2\pi(10\times10^{-3})}\,\hat{a}_\varphi=\frac{500}{\pi}\,\hat{a}_\varphi\\ \mathrm{A/m}\approx159{,}16\,\hat{a}_\varphi\\ \mathrm{A/m}

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