Num espaço métrico (
) todo conjunto finito
é fechado.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente recebeu a afirmação: “Num espaço métrico
, todo conjunto finito
é fechado.” Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Espaços Métricos, especificamente sobre conjuntos fechados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado e como provar que conjuntos finitos têm essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto fechado. Em um espaço métrico, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação, ou seja, se qualquer sequência de pontos dentro do conjunto que converge, tem seu limite também dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos pensar em um conjunto finito
. Isso significa que temos apenas um número limitado de pontos no conjunto. Vamos verificar se esse conjunto atende à definição de fechado.
Passo 4
Vamos assumir que existe uma sequência de pontos dentro do nosso conjunto finito que converge para um limite
. Como nosso conjunto tem apenas pontos específicos
, a sequência só pode ser composta por esses pontos repetidamente.
Passo 5
Se a sequência converge para
, então todos os elementos da sequência, após certo ponto, devem ser iguais a
(porque temos apenas finitidão de elementos). Isso significa que
deve ser igual a um dos
, já que não há outros pontos no conjunto.
Passo 6
Portanto, todo limite de uma sequência de pontos no conjunto finito também está dentro do conjunto. Isso cumpre a definição de conjunto fechado.
Resposta
Concluímos que, em qualquer espaço métrico
, todo conjunto finito
é realmente fechado.