Num espaço métrico ( M, d ) todo conjunto finito {a1, a2, ..., an} é fechado.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente recebeu a afirmação: “Num espaço métrico M, d, todo conjunto finito {a1, a2, ..., an} é fechado.” Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Espaços Métricos, especificamente sobre conjuntos fechados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado e como provar que conjuntos finitos têm essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto fechado. Em um espaço métrico, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação, ou seja, se qualquer sequência de pontos dentro do conjunto que converge, tem seu limite também dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos pensar em um conjunto finito {a1, a2, ..., an}. Isso significa que temos apenas um número limitado de pontos no conjunto. Vamos verificar se esse conjunto atende à definição de fechado.

Passo 4

Vamos assumir que existe uma sequência de pontos dentro do nosso conjunto finito que converge para um limite L. Como nosso conjunto tem apenas pontos específicos , a sequência só pode ser composta por esses pontos repetidamente.

Passo 5

Se a sequência converge para L, então todos os elementos da sequência, após certo ponto, devem ser iguais a L (porque temos apenas finitidão de elementos). Isso significa que L deve ser igual a um dos , já que não há outros pontos no conjunto.

Passo 6

Portanto, todo limite de uma sequência de pontos no conjunto finito também está dentro do conjunto. Isso cumpre a definição de conjunto fechado.

Resposta

Concluímos que, em qualquer espaço métrico M, d, todo conjunto finito {a1, a2, ..., an} é realmente fechado.

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