Um espaço métrico
é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos são abertos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Um espaço métrico
é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos são abertos.” Estamos no campo da topologia, mais especificamente estudando espaços métricos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um espaço métrico ser discreto e o que define um conjunto aberto nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço métrico discreto. Um espaço métrico
é discreto se a métrica
está definida de forma que a distância entre qualquer dois pontos distintos seja sempre a mesma, por exemplo,
se
.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto
é aberto se, para qualquer ponto
em
, existe um raio
tal que a bola aberta
está completamente dentro de
. A bola aberta
é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor que
de
.
Passo 4
Vamos primeiro provar a direção: Se
é discreto, então todo subconjunto de
é aberto.
Como o espaço é discreto, a distância entre quaisquer dois pontos distintos é
. Então, para qualquer ponto
em um subconjunto
, podemos escolher
. A bola aberta
conterá apenas o ponto
, já que qualquer outro ponto está a distância
. Assim, cada ponto de
é interior de
, o que significa que
é aberto.
Passo 5
Agora, vamos provar a outra direção: Se todo subconjunto de
é aberto, então
é discreto.
Considere qualquer ponto
em
. O conjunto
é um subconjunto de
e, pelo enunciado, é aberto. Então, existe um raio
tal que
. Isso significa que não há outros pontos a uma distância menor que
de
, o que implica que a distância entre pontos distintos em
é pelo menos
. Podemos então escolher
para quaisquer
, caracterizando a métrica discreta.
Resposta
Portanto, concluímos que um espaço métrico
é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos são abertos.