Um espaço métrico M é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos são abertos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Um espaço métrico é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos são abertos.” Estamos no campo da topologia, mais especificamente estudando espaços métricos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um espaço métrico ser discreto e o que define um conjunto aberto nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço métrico discreto. Um espaço métrico é discreto se a métrica está definida de forma que a distância entre qualquer dois pontos distintos seja sempre a mesma, por exemplo, se .

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto em , existe um raio tal que a bola aberta está completamente dentro de . A bola aberta é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor que de .

Passo 4

Vamos primeiro provar a direção: Se é discreto, então todo subconjunto de é aberto.
Como o espaço é discreto, a distância entre quaisquer dois pontos distintos é . Então, para qualquer ponto em um subconjunto , podemos escolher . A bola aberta conterá apenas o ponto , já que qualquer outro ponto está a distância . Assim, cada ponto de é interior de , o que significa que é aberto.

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: Se todo subconjunto de é aberto, então é discreto.
Considere qualquer ponto em . O conjunto é um subconjunto de e, pelo enunciado, é aberto. Então, existe um raio tal que . Isso significa que não há outros pontos a uma distância menor que de , o que implica que a distância entre pontos distintos em é pelo menos . Podemos então escolher para quaisquer , caracterizando a métrica discreta.

Resposta

Portanto, concluímos que um espaço métrico é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos são abertos.

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