No espaço vetorial 
 , considere a base 
 . Determine o vetor coordenada de 
  em relação a base 
  se:
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor 
  no espaço tridimensional 
  e uma base 
 . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de 
  em relação a essa base 
 . Isso significa que queremos descobrir quais combinações lineares desses três vetores da base vão nos dar o vetor 
 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor 
  como uma combinação linear dos vetores da base 
 . Isso fica assim:
Aqui, 
 , 
  e 
  são as coordenadas que queremos encontrar. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Já temos o valor de 
  diretamente da terceira equação: 
 . Agora, substituímos esse valor nas outras equações para encontrar 
  e 
 .
Substituindo 
  na primeira equação:
E substituindo 
  na segunda equação:
Resposta
As coordenadas de 
  em relação à base 
  são: