Uma espira circular de raio R e corrente i tem o momento de dipolo orientado na direção \hat{n}= (\hat{\imath}+\hat{\jmath}) / \sqrt{2}. Nessa região o vetor campo magnético é uniforme e é dado por \vec{B}=B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}. Qual o torque \vec{\tau} sobre a espira?
(A) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{\jmath}
(B) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}
(C) \vec{\tau}=\frac{\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}
(D) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{\imath}
(E) \vec{\tau}=\frac{i R^{2}}{\sqrt{2}}\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados:
    • Raio da espira: R.
    • Corrente na espira: i.
    • Momento de dipolo magnético (direção): \hat{n}=\dfrac{\hat{\imath}+\hat{\jmath}}{\sqrt{2}}.
    • Campo magnético uniforme: \vec{B}=B_{x}\,\hat{\imath}+B_{y}\,\hat{\jmath}.
  • Pedido:
    • Determinar o torque \vec{\tau} sobre a espira.

Passo 2

Fórmula do momento de dipolo magnético de uma espira e cálculo de \vec{\mu}.
  • Conceito (explicação didática): para uma espira com corrente, o momento de dipolo magnético \vec{\mu} é dado por \vec{\mu}=i\,\vec{A}, onde \vec{A} é o vetor área da espira. O vetor área tem magnitude igual à área da espira e direção perpendicular ao plano da espira seguindo a regra da mão direita (o sentido de \hat{n} reflete a orientação da corrente). Aqui a área da espira circular vale A=\pi R^{2}.
  • Aplicando ao caso:
    \vec{\mu}=i\,A\,\hat{n}=i\,\pi R^{2}\,\frac{\hat{\imath}+\hat{\jmath}}{\sqrt{2}}.
    Portanto os componentes de \vec{\mu} são
    \mu_x=\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}},\qquad \mu_y=\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}},\qquad \mu_z=0.

Passo 3

Fórmula do torque magnético e como calcular com produto vetorial.
  • Conceito (explicação didática): o torque sobre um momento magnético no campo é dado por \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem componentes (usando a regra do determinante) que, para vetores no plano x\!y, reduz-se a uma componente na direção z: (\vec{u}\times\vec{v})_{z}=u_x v_y - u_y v_x.Assim, se \vec{\mu} e \vec{B} têm apenas componentes x e y, o torque será puramente na direção \hat{k}.

Passo 4

Calcular explicitamente \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.
  • Escrevendo \vec{B} e usando os componentes de \vec{\mu}: \vec{B}=B_x\,\hat{\imath}+B_y\,\hat{\jmath},\qquad \mu_x=\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}},\qquad \mu_y=\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}.
  • A componente z do torque é \tau_z=\mu_x B_y - \mu_y B_x.Substituindo: \tau_z=\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\,B_y - \frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\,B_x =\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\,(B_y-B_x).
  • Como não há componentes x ou y, o torque é \vec{\tau}=\tau_z\,\hat{k}=\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{2}}\,(B_y-B_x)\,\hat{k}.

Passo 5

Interpretação física rápida e checagem das opções.
  • Interpretação: o torque está ao longo de \hat{k} (direção z), seu sentido depende do sinal de B_y-B_x. A expressão encontrada coincide com a alternativa que tem fator i\pi R^{2}/\sqrt{2}, multiplicando B_y-B_x, na direção \hat{k}.

Resposta

(B)

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