Um paralelepípedo condutor de arestas
e
alinhadas com os respectivos eixos das coordenadas cartesianas
e
se move com velocidade
constante. Nessa região o campo magnético é uniforme e é dado por
. Ao longo de quais eixos aparece um campo elétrico e qual o valor da ddp entre as faces normais ao campo elétrico?
(A) Eixo
(B) Eixo
(C) Eixo
(D) Eixo
(E) Eixo
(A) Eixo
(B) Eixo
(C) Eixo
(D) Eixo
(E) Eixo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O corpo é um paralelepípedo condutor com arestas
, e alinhadas aos eixos . - A velocidade do paralelepípedo é
. - O campo magnético é uniforme
. - Perguntas do enunciado:
- Ao longo de quais eixos aparece um campo elétrico no interior do condutor em estado estacionário?
- Qual é o valor da diferença de potencial (ddp) entre as faces normais ao eixo onde houver campo elétrico? Ou seja, calcular
conforme as faces citadas nas alternativas.
Passo 2
Princípio físico básico (explicado devagar e sem pular etapas).
- Cargas livres dentro do condutor se movem com a velocidade do condutor
. Cada carga sofre força magnética dada pela regra de Lorentz: Aqui é a carga (positiva ou negativa), é a velocidade da carga (a mesma do condutor) e é o campo magnético. - Em regime estacionário (após acumulação de carga nas superfícies), não há corrente contínua no interior do condutor e a força elétrica resultante sobre as cargas deve cancelar a força magnética:
Dividindo por (assumindo ), obtemos a condição de equilíbrio para o campo elétrico interno: Isto significa: o campo elétrico que aparece no condutor é tal que a força elétrica anula a força magnética .
Passo 3
Calcular explicitamente
com os vetores dados.
- Temos
e . - Calculemos o produto vetorial
. Lembrando as regras básicas de produto vetorial dos versores: e mudanças de ordem trocam o sinal. Em particular - Assim
- Portanto, usando
,
Passo 4
Interpretação do resultado para as direções e quais faces ficam com diferença de potencial.
- O campo elétrico interno é
, ou seja, aponta ao longo do eixo no sentido positivo de . - Não aparece componente de
ao longo de nem de . Logo o único eixo onde surge campo elétrico é o eixo . - Isso significa que as faces normais ao eixo
(as faces em e ) ficam com acumulação de cargas e, portanto, com diferença de potencial.
Passo 5
Como calcular a diferença de potencial entre as faces
e
.
- A relação entre campo elétrico e potencial é
. Para um campo uniforme ao longo de temos a fórmula prática de diferença de potencial entre dois pontos e : Aqui é o vetor de deslocamento ao longo do trajeto (aqui ao longo do eixo ). - Escolhemos
e . Como com constante, temos: - Então isolando a diferença na ordem pedida:
Passo 6
Verificação do sinal e do sentido físico (para ficar seguro e sem confusão).
- O cálculo mostra
(assumindo e ). - Isso significa que a face em
está a potencial maior do que a face em . Fisicamente, lembrando o cálculo do produto vetorial, o termo atua empurrando cargas positivas para negativo (face ), fazendo com que essa face fique com excesso de carga positiva e, portanto, maior potencial. O campo elétrico resultante aponta de para (no sentido ), e isso é consistente com .
Passo 7
Comparação com as alternativas fornecidas.
- Concluímos que o campo elétrico aparece ao longo do eixo
. - A diferença de potencial entre as faces
e é - Isso corresponde exatamente à alternativa (B).
Resposta
(B) Eixo
.