Um paralelepípedo condutor de arestas a_{x}, a_{y} e a_{z} alinhadas com os respectivos eixos das coordenadas cartesianas x, y e z se move com velocidade \vec{v}=v \hat{\imath} constante. Nessa região o campo magnético é uniforme e é dado por \vec{B}=B \hat{k}. Ao longo de quais eixos aparece um campo elétrico e qual o valor da ddp entre as faces normais ao campo elétrico?
(A) Eixo y . ~ V(y=0)-V\left(y=a_{y}\right)=v B a_{x}
(B) Eixo y \cdot V(y=0)-V\left(y=a_{y}\right)=v B a_{y}
(C) Eixo x . V(x=0)-V\left(x=a_{x}\right)=-v B a_{x}
(D) Eixo z \cdot V(z=0)-V\left(z=a_{z}\right)=v B a_{z}
(E) Eixo x . V(x=0)-V\left(x=a_{x}\right)=v B a_{x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O corpo é um paralelepípedo condutor com arestas a_x, a_y e a_z alinhadas aos eixos x,y,z.
  • A velocidade do paralelepípedo é \vec{v}=v\hat{\imath}.
  • O campo magnético é uniforme \vec{B}=B\hat{k}.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Ao longo de quais eixos aparece um campo elétrico no interior do condutor em estado estacionário?
    2. Qual é o valor da diferença de potencial (ddp) entre as faces normais ao eixo onde houver campo elétrico? Ou seja, calcular V(\text{face inferior})-V(\text{face superior}) conforme as faces citadas nas alternativas.

Passo 2

Princípio físico básico (explicado devagar e sem pular etapas).
  • Cargas livres dentro do condutor se movem com a velocidade do condutor \vec{v}. Cada carga q sofre força magnética dada pela regra de Lorentz: \vec{F}_{\text{mag}}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.Aqui q é a carga (positiva ou negativa), \vec{v} é a velocidade da carga (a mesma do condutor) e \vec{B} é o campo magnético.
  • Em regime estacionário (após acumulação de carga nas superfícies), não há corrente contínua no interior do condutor e a força elétrica resultante sobre as cargas deve cancelar a força magnética: q\vec{E}+q(\vec{v}\times\vec{B})=\vec{0}.Dividindo por q (assumindo q\neq0), obtemos a condição de equilíbrio para o campo elétrico interno: \vec{E}=-\,\vec{v}\times\vec{B}.Isto significa: o campo elétrico que aparece no condutor é tal que a força elétrica q\vec{E} anula a força magnética q(\vec{v}\times\vec{B}).

Passo 3

Calcular explicitamente \vec{E}=-\vec{v}\times\vec{B} com os vetores dados.
  • Temos \vec{v}=v\hat{\imath} e \vec{B}=B\hat{k}.
  • Calculemos o produto vetorial \vec{v}\times\vec{B}. Lembrando as regras básicas de produto vetorial dos versores: \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k},\qquad \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath},\qquad \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath},e mudanças de ordem trocam o sinal. Em particular \hat{\imath}\times\hat{k}=-\hat{\jmath}.
  • Assim \vec{v}\times\vec{B}=(v\hat{\imath})\times(B\hat{k})=vB(\hat{\imath}\times\hat{k})=vB(-\hat{\jmath})=-vB\hat{\jmath}.
  • Portanto, usando \vec{E}=-\vec{v}\times\vec{B}, \vec{E}=-(-vB\hat{\jmath})=vB\hat{\jmath}.

Passo 4

Interpretação do resultado para as direções e quais faces ficam com diferença de potencial.
  • O campo elétrico interno é \vec{E}=vB\hat{\jmath}, ou seja, aponta ao longo do eixo y no sentido positivo de y.
  • Não aparece componente de \vec{E} ao longo de x nem de z. Logo o único eixo onde surge campo elétrico é o eixo y.
  • Isso significa que as faces normais ao eixo y (as faces em y=0 e y=a_y) ficam com acumulação de cargas e, portanto, com diferença de potencial.

Passo 5

Como calcular a diferença de potencial entre as faces y=0 e y=a_y.
  • A relação entre campo elétrico e potencial é \vec{E}=-\nabla V. Para um campo uniforme ao longo de y temos a fórmula prática de diferença de potencial entre dois pontos y_1 e y_2: V(y_2)-V(y_1)=-\int_{y_1}^{y_2}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.Aqui d\vec{\ell} é o vetor de deslocamento ao longo do trajeto (aqui ao longo do eixo y).
  • Escolhemos y_1=0 e y_2=a_y. Como \vec{E}=E_y\hat{\jmath} com E_y=vB constante, temos: V(a_y)-V(0)=-\int_{0}^{a_y} E_y\,dy = -E_y a_y = -vB\,a_y.
  • Então isolando a diferença na ordem pedida: V(0)-V(a_y)=vB\,a_y.

Passo 6

Verificação do sinal e do sentido físico (para ficar seguro e sem confusão).
  • O cálculo mostra V(0)-V(a_y)=vB a_y>0 (assumindo v>0 e B>0).
  • Isso significa que a face em y=0 está a potencial maior do que a face em y=a_y. Fisicamente, lembrando o cálculo do produto vetorial, o termo \vec{v}\times\vec{B}=-vB\hat{\jmath} atua empurrando cargas positivas para y negativo (face y=0), fazendo com que essa face fique com excesso de carga positiva e, portanto, maior potencial. O campo elétrico resultante aponta de y=0 para y=a_y (no sentido +\hat{\jmath}), e isso é consistente com V(0)>V(a_y).

Passo 7

Comparação com as alternativas fornecidas.
  • Concluímos que o campo elétrico aparece ao longo do eixo y.
  • A diferença de potencial entre as faces y=0 e y=a_y é V(y=0)-V(y=a_y)=vB\,a_y.
  • Isso corresponde exatamente à alternativa (B).

Resposta

(B) Eixo y. V(y=0)-V(y=a_y)=vB\,a_y

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