Esquematize e defina matematicamente a lei de Newton da escoamento de fluidos em tubulações? (1,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esquematizar e definir matematicamente a “lei de Newton” do escoamento de fluidos em tubulações. Não foi fornecido nenhum dado numérico. Para poder dar uma resposta completa e aplicável a tubulações, vou assumir as hipóteses padrão necessárias para derivar as fórmulas clássicas:
  • Fluido newtoniano (a viscosidade é constante e a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade).
  • Escoamento estacionário, incompressível e laminar.
  • Escoamento totalmente desenvolvido axialmente numa tubulação circular de raio R e comprimento L.
  • Condição de não deslizamento (“no-slip”) na parede: velocidade do fluido relativa à parede é zero.
O que será entregue ao final: a expressão local da lei de Newton (tensão = viscosidade × gradiente de velocidade), e sua aplicação para o escoamento em tubo circular (perfil de velocidades, vazão volumétrica e relação pressão–queda de carga).

Passo 2

Definição local da lei de Newton da viscosidade (situação plana, explicação física).
  • A lei de Newton diz que a tensão de cisalhamento entre camadas adjacentes de fluido é proporcional à taxa de deformação (gradiente de velocidade) entre essas camadas. Em uma forma 1D simples (escoamento incomp. entre placas paralelas), escreve-se:
\tau = \mu \frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (força por área) em \mathrm{Pa},
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido em \mathrm{Pa\cdot s},
  • u(y) é a componente da velocidade paralela às placas, dependente da coordenada transversal y.
    Explicação: se a velocidade varia linearmente com y, a taxa de cisalhamento \dfrac{du}{dy} é constante e a tensão é proporcional a ela. A constante de proporcionalidade é \mu. Unidades conferem: [\tau]=\mathrm{Pa}=[\mu][du/dy]=\mathrm{Pa\cdot s}\cdot\mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Transposição da lei de Newton para coordenadas cilíndricas (tubo) e identificação do componente relevante.
  • No escoamento axial em um tubo, a componente responsável pelo transporte é u_z(r) (velocidade axial), e o gradiente relevante é radial: \dfrac{du_z}{dr}.
  • A componente de tensão de cisalhamento que liga direções radial e axial é \tau_{rz}. A lei de Newton, aplicada localmente, fica:
\tau_{rz}(r) = \mu \frac{du_z}{dr}(r).
Observação sobre sinais: o sinal dependerá da convenção (direção positiva de r e de z); ao aplicar o equilíbrio de forças veremos o sinal da derivada de pressão que impõe o sentido do cisalhamento.

Passo 4

Equilíbrio de forças para obter a distribuição de tensão \tau_{rz}(r) no interior do tubo.
  • Considere um cilindro coaxial de fluido de raio r e comprimento L. Forças que atuam axialmente: diferença de pressão sobre as seções planas e a força de cisalhamento na superfície lateral. Equilibrando (pressão para cima menos para baixo = resistência da tensão lateral), tem-se:
-\frac{dp}{dz}\cdot \pi r^{2} = \tau_{rz}(r)\cdot 2\pi r,
onde -\dfrac{dp}{dz} é o gradiente de pressão (positivo se a pressão diminui no sentido positivo de z). Simplificando:
\tau_{rz}(r) = -\frac{r}{2}\frac{dp}{dz}.
Interpretação: a tensão cisalhante cresce linearmente com r e é proporcional ao gradiente de pressão ao longo do tubo.

Passo 5

Combinar a lei de Newton com a expressão da tensão e formar a equação diferencial para u_z(r).
  • Igualando as duas expressões para \tau_{rz}(r):
\mu \frac{du_z}{dr} = -\frac{r}{2}\frac{dp}{dz}.
Isto é uma ODE ordinária de primeira ordem para u_z(r). Integrando em r:
\frac{du_z}{dr} = -\frac{r}{2\mu}\frac{dp}{dz} \quad\Longrightarrow\quad u_z(r) = -\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dz}\int r\,dr = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\,r^{2} + C,
onde C é constante de integração que pode depender de z em princípio, mas para escoamento totalmente desenvolvido C é constante. Aplicando as condições físicas:
  • Regularidade no centro: u_z finita em r=0 (satisfeita).
  • Condição de não deslizamento na parede: u_z(R)=0. Assim:
0 = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}R^{2} + C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}R^{2}.
Portanto o perfil de velocidades é:
u_z(r) = \frac{1}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\left(R^{2}-r^{2}\right).
Isso é um perfil parabólico (máximo no centro r=0, nulo na parede r=R). Nota: usei -\dfrac{dp}{dz} para deixar o coeficiente positivo quando a pressão decresce ao longo do sentido do escoamento.

Passo 6

Cálculo da vazão volumétrica Q e expressão de Hagen–Poiseuille.
  • A vazão volumétrica é a integral da velocidade sobre a área da seção:
Q = \int_{0}^{R} u_z(r)\,2\pi r\,dr.
Substituindo o perfil:
Q = 2\pi \int_{0}^{R} \frac{1}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\left(R^{2}-r^{2}\right) r\,dr.
Fatorando constantes:
Q = \frac{\pi}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right) \int_{0}^{R} \left(R^{2}r - r^{3}\right) dr.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R} \left(R^{2}r - r^{3}\right) dr = R^{2}\frac{R^{2}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4}.
Logo
Q = \frac{\pi}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\cdot\frac{R^{4}}{4} = \frac{\pi R^{4}}{8\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right).
Se a queda de pressão ao longo do comprimento L é \Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}} = -\dfrac{dp}{dz}\,L, então a forma usual da lei de Hagen–Poiseuille é:
Q = \frac{\pi R^{4}}{8\mu}\frac{\Delta p}{L}.
Isto relaciona a vazão volumétrica com a queda de pressão, geometria e viscosidade.

Passo 7

Expressões úteis derivadas e interpretação física final.
  • Perfil de velocidade (repito):
u_z(r) = \frac{1}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\left(R^{2}-r^{2}\right).
  • Velocidade média:
\bar{u} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}}{8\mu}\frac{\Delta p}{L}.
  • Tensão de cisalhamento na parede:
\tau_{w} = \tau_{rz}(R) = -\frac{R}{2}\frac{dp}{dz} = \frac{R}{2}\frac{\Delta p}{L}.
  • Para escoamento laminar em tubo circular, fator de atrito de Darcy (com diâmetro D=2R) é
f = \frac{64}{\mathrm{Re}},
onde \mathrm{Re} = \dfrac{\rho \bar{u}D}{\mu} é o número de Reynolds. Essa expressão vale só no regime laminar totalmente desenvolvido.

Passo 8

Comentários práticos, limitações e quando a “lei de Newton” não basta.
  • Limitações das fórmulas acima: são válidas para fluido newtoniano, escoamento laminar e totalmente desenvolvido em tubo circular com parede rígida e condição de não deslizamento.
  • Para fluido não-Newtoniano (p.ex. viscosidade variável com taxa de cisalhamento) a relação \tau=\mu du/dy não vale em forma linear; modelagens alternativas (p.ex. fluxo de poder–lei, Bingham, etc.) são necessárias.
  • Para escoamento turbulento, a relação macroscópica entre queda de pressão e vazão envolve coeficientes empíricos/semianalíticos (ex.: equação de Darcy–Weisbach com f dependente de \mathrm{Re} e rugosidade).

Resposta

\tau = \mu \dfrac{du}{dy} (lei de Newton da viscosidade, forma local).
u_z(r)=\frac{1}{4\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\left(R^{2}-r^{2}\right)
(perfil parabólico em tubo, escoamento laminar totalmente desenvolvido).
Q=\frac{\pi R^{4}}{8\mu}\frac{\Delta p}{L}
(lei de Hagen–Poiseuille relacionando vazão e queda de pressão).
\tau_{w}=\frac{R}{2}\frac{\Delta p}{L}
(tensão de cisalhamento na parede).

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