Esquematize e defina matematicamente a lei de Newton da escoamento de fluidos em tubulações?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esquematizar e definir matematicamente a “lei de Newton” do escoamento de fluidos em tubulações. Não foi fornecido nenhum dado numérico. Para poder dar uma resposta completa e aplicável a tubulações, vou assumir as hipóteses padrão necessárias para derivar as fórmulas clássicas:
- Fluido newtoniano (a viscosidade é constante e a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade).
- Escoamento estacionário, incompressível e laminar.
- Escoamento totalmente desenvolvido axialmente numa tubulação circular de raio
e comprimento . - Condição de não deslizamento (“no-slip”) na parede: velocidade do fluido relativa à parede é zero.
O que será entregue ao final: a expressão local da lei de Newton (tensão = viscosidade × gradiente de velocidade), e sua aplicação para o escoamento em tubo circular (perfil de velocidades, vazão volumétrica e relação pressão–queda de carga).
Passo 2
Definição local da lei de Newton da viscosidade (situação plana, explicação física).
- A lei de Newton diz que a tensão de cisalhamento entre camadas adjacentes de fluido é proporcional à taxa de deformação (gradiente de velocidade) entre essas camadas. Em uma forma 1D simples (escoamento incomp. entre placas paralelas), escreve-se:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (força por área) em , -
é a viscosidade dinâmica do fluido em , -
é a componente da velocidade paralela às placas, dependente da coordenada transversal .
Explicação: se a velocidade varia linearmente com, a taxa de cisalhamento é constante e a tensão é proporcional a ela. A constante de proporcionalidade é . Unidades conferem: .
Passo 3
Transposição da lei de Newton para coordenadas cilíndricas (tubo) e identificação do componente relevante.
- No escoamento axial em um tubo, a componente responsável pelo transporte é
(velocidade axial), e o gradiente relevante é radial: . - A componente de tensão de cisalhamento que liga direções radial e axial é
. A lei de Newton, aplicada localmente, fica:
Observação sobre sinais: o sinal dependerá da convenção (direção positiva de
e de
); ao aplicar o equilíbrio de forças veremos o sinal da derivada de pressão que impõe o sentido do cisalhamento.
Passo 4
Equilíbrio de forças para obter a distribuição de tensão
no interior do tubo.
- Considere um cilindro coaxial de fluido de raio
e comprimento . Forças que atuam axialmente: diferença de pressão sobre as seções planas e a força de cisalhamento na superfície lateral. Equilibrando (pressão para cima menos para baixo = resistência da tensão lateral), tem-se:
onde
é o gradiente de pressão (positivo se a pressão diminui no sentido positivo de
). Simplificando:
Interpretação: a tensão cisalhante cresce linearmente com
e é proporcional ao gradiente de pressão ao longo do tubo.
Passo 5
Combinar a lei de Newton com a expressão da tensão e formar a equação diferencial para
.
- Igualando as duas expressões para
:
Isto é uma ODE ordinária de primeira ordem para
. Integrando em
:
onde
é constante de integração que pode depender de
em princípio, mas para escoamento totalmente desenvolvido
é constante. Aplicando as condições físicas:
- Regularidade no centro:
finita em (satisfeita). - Condição de não deslizamento na parede:
. Assim:
Portanto o perfil de velocidades é:
Isso é um perfil parabólico (máximo no centro
, nulo na parede
). Nota: usei
para deixar o coeficiente positivo quando a pressão decresce ao longo do sentido do escoamento.
Passo 6
Cálculo da vazão volumétrica
e expressão de Hagen–Poiseuille.
- A vazão volumétrica é a integral da velocidade sobre a área da seção:
Substituindo o perfil:
Fatorando constantes:
Calcule a integral:
Logo
Se a queda de pressão ao longo do comprimento
é
, então a forma usual da lei de Hagen–Poiseuille é:
Isto relaciona a vazão volumétrica com a queda de pressão, geometria e viscosidade.
Passo 7
Expressões úteis derivadas e interpretação física final.
- Perfil de velocidade (repito):
- Velocidade média:
- Tensão de cisalhamento na parede:
- Para escoamento laminar em tubo circular, fator de atrito de Darcy (com diâmetro
) é
onde
é o número de Reynolds. Essa expressão vale só no regime laminar totalmente desenvolvido.
Passo 8
Comentários práticos, limitações e quando a “lei de Newton” não basta.
- Limitações das fórmulas acima: são válidas para fluido newtoniano, escoamento laminar e totalmente desenvolvido em tubo circular com parede rígida e condição de não deslizamento.
- Para fluido não-Newtoniano (p.ex. viscosidade variável com taxa de cisalhamento) a relação
não vale em forma linear; modelagens alternativas (p.ex. fluxo de poder–lei, Bingham, etc.) são necessárias. - Para escoamento turbulento, a relação macroscópica entre queda de pressão e vazão envolve coeficientes empíricos/semianalíticos (ex.: equação de Darcy–Weisbach com
dependente de e rugosidade).
Resposta
(perfil parabólico em tubo, escoamento laminar totalmente desenvolvido).
(lei de Hagen–Poiseuille relacionando vazão e queda de pressão).
(tensão de cisalhamento na parede).