Esquematize as seguintes direções na célula cúbica:
[101], [211], [102] e [313]
[101], [211], [102] e [313]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede que sejam esquematizadas as quatro direções cristalográficas na célula cúbica:
, , e . - Informação implícita que vou usar (não foi pedido, mas é padrão): trabalhar com uma célula unitária cúbica de parâmetro de rede
, escolhendo a origem numa das esquinas da célula ( ). - Vou representar cada direção como o vetor que tem componentes inteiras
associadas ao índice , em unidades de .
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
O que significa a notação
e como traduzir para um vetor cartesiano (aulas rápidas e úteis).
- A notação
representa a direção do vetor que tem componentes inteiras , e ao longo dos vetores de rede da célula. Para uma rede cúbica simples isso equivale a dizer que o vetor é
onde tipicamente
,
,
e
é o parâmetro de rede.
- Portanto, em coordenadas cartesianas (em unidades de
) a direção corresponde ao ponto terminal . Na prática, para desenhar: coloco a origem em e marco a posição (cada unidade corresponde a um comprimento ) e traço uma seta da origem a essa posição.
Passo 3
Como esquematizar no papel (passo a passo prático, sem pular etapas).
- Desenhe um cubo isométrico ou perspectiva simples para representar a célula cúbica com eixos
, , a partir da esquina inferior-esquerda (origem). Marque as divisões de comprimento ao longo de cada aresta. - Para um índice
: - Marque no eixo
o ponto (ou células se ). - Marque no eixo
o ponto . - Marque no eixo
o ponto . - A posição final é o ponto
em unidades de . Ligue a origem até com uma seta — isso é a direção .
- Marque no eixo
- Observação importante: se algum componente for maior que 1, o ponto
pode ficar fora da célula desenhada; nesse caso, ou estende-se o desenho para células adjacentes (normal e aceitável), ou desenha-se o vetor cortando várias células (o vetor conecta pontos de rede distintos). Não se deve reduzir os componentes dividindo por um inteiro comum a menos que o objetivo seja obter a direção primitiva (isto é permitido somente se os três números tiverem um divisor comum).
Passo 4
Dica prática para quando houver zeros e para reduzir índices (quando aplicável).
- Se um componente for zero (por exemplo em
), isso significa que não há deslocamento na direção desse eixo; o vetor permanece no plano formado pelos outros dois eixos (no exemplo, no plano , com ). - Se
tiverem um divisor comum inteiro , pode-se simplificar para para obter a menor tríade de inteiros que representa a mesma direção. Nos casos pedidos abaixo não há divisor comum além de 1, portanto não reduzimos.
Passo 5
Esquematizando
com explicações passo-a-passo e intuição geométrica.
- Tradução direta:
corresponde ao ponto em unidades de . - Como desenhar:
- Na origem
trace até (uma aresta) e (uma aresta no sentido vertical do cubo desenhado), mantendo . - O ponto
fica na aresta do cubo que liga a vértice a — está no plano frontal .
- Na origem
- Vetor componente e normalização (útil para identificar ângulo/ direção com precisão):
Unidade direcional:
Passo 6
Esquematizando
com explicações passo-a-passo e intuição geométrica.
- Tradução direta:
corresponde ao ponto em unidades de . - Como desenhar:
- A partir da origem, marque
(isto exige desenhar a célula e mais uma célula adjacente no sentido ), e . - O ponto final
está em uma célula adjacente (duas células ao longo de ). Ligue a origem até esse ponto com uma seta atravessando as células intermediárias — isso ilustra que a direção conecta pontos de rede separados por duas parcelas em e uma em e .
- A partir da origem, marque
- Vetor e normalização:
Unidade direcional:
Passo 7
Esquematizando
com explicações passo-a-passo.
- Tradução direta:
corresponde ao ponto . - Como desenhar:
- A partir da origem marque
, , (duas células no sentido ou estenda o eixo duas unidades). - O vetor vai da origem até esse ponto; como
, ele fica no plano (plano ), atravessando uma célula e entrando na célula adjacente ao longo de .
- A partir da origem marque
- Vetor e normalização:
Unidade direcional:
Passo 8
Esquematizando
com explicações passo-a-passo.
- Tradução direta:
corresponde ao ponto . - Como desenhar:
- A partir da origem marque
, , — será preciso desenhar várias células adjacentes (3 em e 3 em ). - Ligue a origem até
; a seta atravessa várias células e mostra uma direção que avança bastante em e e um pouco em .
- A partir da origem marque
- Vetor e normalização:
Unidade direcional:
Passo 9
Resumo visual e dicas finais para o desenho (como se fosse meu colega te orientando no rascunho).
- Sempre comece marcando a origem numa esquina do cubo. Cada unidade marcada nas arestas corresponde a
. - Se um componente for maior que 1, não se preocupe: estenda o desenho para células vizinhas — direções cristalográficas normalmente conectam pontos de rede em células diferentes.
- Use traços leves para células adjacentes e uma seta mais grossa para a direção final. Indique as coordenadas do ponto terminal
ao lado da seta. - Se quiser verificar: calcule a magnitude e a unidade direcional; isso ajuda a garantir que a proporção entre os deslocamentos
esteja correta.