Esquematize as seguintes direções na célula cúbica:
[101], [211], [102] e [313]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede que sejam esquematizadas as quatro direções cristalográficas na célula cúbica: [101], [211], [102] e [313].
  • Informação implícita que vou usar (não foi pedido, mas é padrão): trabalhar com uma célula unitária cúbica de parâmetro de rede a, escolhendo a origem numa das esquinas da célula ( (0,0,0)).
  • Vou representar cada direção como o vetor que tem componentes inteiras (u,v,w) associadas ao índice [u v w], em unidades de a.
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

O que significa a notação [u v w] e como traduzir para um vetor cartesiano (aulas rápidas e úteis).
  • A notação [u v w] representa a direção do vetor que tem componentes inteiras u, v e w ao longo dos vetores de rede da célula. Para uma rede cúbica simples isso equivale a dizer que o vetor é
\vec{R}=u\,\vec{a}_1+v\,\vec{a}_2+w\,\vec{a}_3,
onde tipicamente \vec{a}_1=a\hat{\imath}, \vec{a}_2=a\hat{\jmath}, \vec{a}_3=a\hat{k} e a é o parâmetro de rede.
  • Portanto, em coordenadas cartesianas (em unidades de a) a direção [u v w] corresponde ao ponto terminal (u,v,w). Na prática, para desenhar: coloco a origem em (0,0,0) e marco a posição (u,v,w) (cada unidade corresponde a um comprimento a) e traço uma seta da origem a essa posição.

Passo 3

Como esquematizar no papel (passo a passo prático, sem pular etapas).
  • Desenhe um cubo isométrico ou perspectiva simples para representar a célula cúbica com eixos x, y, z a partir da esquina inferior-esquerda (origem). Marque as divisões de comprimento a ao longo de cada aresta.
  • Para um índice [u v w]:
    1. Marque no eixo x o ponto u (ou u células se u>1).
    2. Marque no eixo y o ponto v.
    3. Marque no eixo z o ponto w.
    4. A posição final é o ponto (u,v,w) em unidades de a. Ligue a origem (0,0,0) até (u,v,w) com uma seta — isso é a direção [u v w].
  • Observação importante: se algum componente for maior que 1, o ponto (u,v,w) pode ficar fora da célula desenhada; nesse caso, ou estende-se o desenho para células adjacentes (normal e aceitável), ou desenha-se o vetor cortando várias células (o vetor conecta pontos de rede distintos). Não se deve reduzir os componentes dividindo por um inteiro comum a menos que o objetivo seja obter a direção primitiva (isto é permitido somente se os três números tiverem um divisor comum).

Passo 4

Dica prática para quando houver zeros e para reduzir índices (quando aplicável).
  • Se um componente for zero (por exemplo em [1 0 2]), isso significa que não há deslocamento na direção desse eixo; o vetor permanece no plano formado pelos outros dois eixos (no exemplo, no plano x\!-\!z, com y=0).
  • Se u,v,w tiverem um divisor comum inteiro d>1, pode-se simplificar para [\tfrac{u}{d}\\ \tfrac{v}{d}\\ \tfrac{w}{d}] para obter a menor tríade de inteiros que representa a mesma direção. Nos casos pedidos abaixo não há divisor comum além de 1, portanto não reduzimos.

Passo 5

Esquematizando [101] com explicações passo-a-passo e intuição geométrica.
  • Tradução direta: [101] corresponde ao ponto (1,0,1) em unidades de a.
  • Como desenhar:
    1. Na origem (0,0,0) trace até x=1 (uma aresta) e z=1 (uma aresta no sentido vertical do cubo desenhado), mantendo y=0.
    2. O ponto (1,0,1) fica na aresta do cubo que liga a vértice (1,0,0) a (1,0,1) — está no plano frontal y=0.
  • Vetor componente e normalização (útil para identificar ângulo/ direção com precisão):
\vec{R}_{[101]}=a(1,0,1),\qquad |\vec{R}_{[101]}|=a\sqrt{1^2+0^2+1^2}=a\sqrt{2}.
Unidade direcional:
\hat{r}_{[101]}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).

Passo 6

Esquematizando [211] com explicações passo-a-passo e intuição geométrica.
  • Tradução direta: [211] corresponde ao ponto (2,1,1) em unidades de a.
  • Como desenhar:
    1. A partir da origem, marque x=2 (isto exige desenhar a célula e mais uma célula adjacente no sentido x), y=1 e z=1.
    2. O ponto final (2,1,1) está em uma célula adjacente (duas células ao longo de x). Ligue a origem até esse ponto com uma seta atravessando as células intermediárias — isso ilustra que a direção conecta pontos de rede separados por duas parcelas em x e uma em y e z.
  • Vetor e normalização:
\vec{R}_{[211]}=a(2,1,1),\qquad |\vec{R}_{[211]}|=a\sqrt{2^2+1^2+1^2}=a\sqrt{6}.
Unidade direcional:
\hat{r}_{[211]}=\frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1).

Passo 7

Esquematizando [102] com explicações passo-a-passo.
  • Tradução direta: [102] corresponde ao ponto (1,0,2).
  • Como desenhar:
    1. A partir da origem marque x=1, y=0, z=2 (duas células no sentido z ou estenda o eixo z duas unidades).
    2. O vetor vai da origem até esse ponto; como y=0, ele fica no plano y=0 (plano x\!-\!z), atravessando uma célula e entrando na célula adjacente ao longo de z.
  • Vetor e normalização:
\vec{R}_{[102]}=a(1,0,2),\qquad |\vec{R}_{[102]}|=a\sqrt{1^2+0^2+2^2}=a\sqrt{5}.
Unidade direcional:
\hat{r}_{[102]}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2).

Passo 8

Esquematizando [313] com explicações passo-a-passo.
  • Tradução direta: [313] corresponde ao ponto (3,1,3).
  • Como desenhar:
    1. A partir da origem marque x=3, y=1, z=3 — será preciso desenhar várias células adjacentes (3 em x e 3 em z).
    2. Ligue a origem até (3,1,3); a seta atravessa várias células e mostra uma direção que avança bastante em x e z e um pouco em y.
  • Vetor e normalização:
\vec{R}_{[313]}=a(3,1,3),\qquad |\vec{R}_{[313]}|=a\sqrt{3^2+1^2+3^2}=a\sqrt{19}.
Unidade direcional:
\hat{r}_{[313]}=\frac{1}{\sqrt{19}}(3,1,3).

Passo 9

Resumo visual e dicas finais para o desenho (como se fosse meu colega te orientando no rascunho).
  • Sempre comece marcando a origem numa esquina do cubo. Cada unidade marcada nas arestas corresponde a a.
  • Se um componente for maior que 1, não se preocupe: estenda o desenho para células vizinhas — direções cristalográficas normalmente conectam pontos de rede em células diferentes.
  • Use traços leves para células adjacentes e uma seta mais grossa para a direção final. Indique as coordenadas do ponto terminal (u,v,w) ao lado da seta.
  • Se quiser verificar: calcule a magnitude e a unidade direcional; isso ajuda a garantir que a proporção entre os deslocamentos x,y,z esteja correta.

Resposta

[101] : (1,0,1)
[211] : (2,1,1)
[102] : (1,0,2)
[313] : (3,1,3)

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