Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas n times n e o espaço das matrizes triangulares inferiores ( ai j=0 se i ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre um isomorfismo, ou seja, uma maneira de transformar uma coisa na outra sem perder informação, entre dois espaços de matrizes:
  1. Espaço das matrizes simétricas ( n times n): São matrizes onde aij = aji.
  2. Espaço das matrizes triangulares inferiores: São matrizes onde aij = 0 se i < j.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, dimensões e isomorfismos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se esses dois espaços têm a mesma dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos na sua base, ou seja, o número de “direções” independentes nele.
  • Matrizes simétricas n times n:
    Como aij = aji, só precisamos considerar os elementos na diagonal e abaixo dela. Então, temos n(n+1)2 elementos independentes.
  • Matrizes triangulares inferiores n times n:
    Aqui, todos os elementos acima da diagonal são zero, então os elementos livres estão na diagonal e abaixo dela, também n(n+1)2 elementos.
Como as dimensões são iguais, sabemos que existe um isomorfismo entre esses espaços.

Passo 3

Agora, vamos construir esse isomorfismo. A ideia é mapear cada elemento livre de uma matriz simétrica para uma posição correspondente na matriz triangular inferior.
Vamos definir uma função T que pega uma matriz simétrica A e retorna uma matriz triangular inferior B da seguinte forma:
T(A) = B onde bij = aij & se i >= j, 0 & se i < j
Ou seja, T simplesmente copia os elementos de A para B quando i >= j e coloca zero caso contrário.

Passo 4

Para garantir que T é realmente um isomorfismo, precisamos verificar duas coisas:
  1. Linearidade: T preserva a adição e a multiplicação por escalar.
  2. Bijetividade: T é injetora e sobrejetora.
  • Linearidade: Se você tem duas matrizes A e A' e um escalar c, então:
T(A + A') = T(A) + T(A') e T(cA) = cT(A)
Isso é verdade porque a operação de copiar elementos mantém essas propriedades.
  • Bijetividade:
    • Injetora: Se T(A) = T(A'), então A = A', já que os elementos na região onde T copia são iguais.
    • Sobrejetora: Para qualquer matriz triangular inferior B, existe uma matriz simétrica A tal que T(A) = B (basta definir A com os mesmos elementos de B na região i >= j e preencher o resto de forma simétrica).

Resposta

Portanto, o isomorfismo entre o espaço das matrizes simétricas n times n e o espaço das matrizes triangulares inferiores é a função T definida por:
T(A) = B onde bij = aij & se i >= j, 0 & se i < j
Essa transformação é linear, injetora e sobrejetora, estabelecendo assim o isomorfismo desejado.

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