Em uma estação de tratamento de água, é necessário medir a vazão do fluxo de água que passa por diferentes etapas do processo. Para medir a vazão de uma unidade de sedimentação, é utilizado um vertedouro retangular.
Qual é a fórmula utilizada para calcular a vazão em um vertedouro retangular?

Passo 1

O que o enunciado pede: fornecer a fórmula usada para calcular a vazão que passa por um vertedouro retangular (sharp-crested).
Informações relevantes que normalmente aparecem ao aplicar a fórmula:
  • largura do vertedouro (comprimento transversal da crista), denotada por L (em metros);
  • lâmina de água acima da crista (cota da superfície livre medida a montante em relação ao topo da crista), denotada por H (em metros);
  • aceleração da gravidade g (em \mathrm{m/s^2});
  • coeficiente de descarga C_d (adimensional), que corrige efeitos reais como contração do jato, perdas viscosas e velocidade de aproximação.
    O objetivo é obter a expressão que fornece a vazão Q (em \mathrm{m^3/s}) em função dessas grandezas.

Passo 2

Ideia física e hipótese simplificadora: tratar o escoamento sobre a crista como uma série de filetes horizontais infinitesimais que escorrem livremente (jato livre). Para cada filete a velocidade pode ser obtida por Torricelli (energia/ Bernoulli) a partir da diferença de cota entre a superfície livre e o nível do filete. Vou detalhar isso passo a passo.

Passo 3

Velocidade em um nível infinitesimal: considerando um nível horizontal localizado a uma distância y acima da crista (ou seja, 0\le y\le H, com y=H na superfície livre), aplicar Bernoulli entre a superfície livre (velocidade ≈ 0) e o filete em y (pressões atmosféricas em ambos os pontos):
v(y)=\sqrt{2g\bigl(H-y\bigr)}.
Explicação: a energia potencial por unidade de massa entre a superfície livre e o ponto a y é g(H-y); convertida em energia cinética dá a velocidade acima.

Passo 4

Vazão do filete infinitesimal: uma faixa horizontal de espessura dy e comprimento L tem área dA=L\,dy. O contributo à vazão é
dQ=v(y)\,dA = L\sqrt{2g\bigl(H-y\bigr)}\,dy.
Para obter a vazão total integra-se de y=0 até y=H:
Q_{\text{ideal}}=L\sqrt{2g}\int_{0}^{H}\bigl(H-y\bigr)^{1/2}\,dy.

Passo 5

Cálculo da integral: faça a substituição u=H-y, portanto du=-dy. A integral fica
\int_{0}^{H}\bigl(H-y\bigr)^{1/2}\,dy=\int_{H}^{0}u^{1/2}(-du)=\int_{0}^{H}u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}H^{3/2}.
Logo a vazão ideal é
Q_{\text{ideal}}=\frac{2}{3}\,L\sqrt{2g}\;H^{3/2}.

Passo 6

Correção prática (coeficiente de descarga): na prática, devido a efeitos de contração do jato, perdas e perfil de velocidade de entrada, introduz-se um coeficiente de descarga C_d (adimensional) multiplicando o resultado ideal. Assim a fórmula prática usada em vertedouros retangulares é
Q = C_d\;\frac{2}{3}\,L\sqrt{2g}\;H^{3/2}.
Observações úteis: H é a lâmina sobre a crista (medida a montante), L é a largura da crista; em unidades SI com g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} pode-se avaliar numericamente o fator \frac{2}{3}\sqrt{2g}\approx 2{,}95. Valores típicos de C_d para vertedouro agudo variam em torno de 0{,}60 a 0{,}65 (depende da instalação e da razão H/L e da velocidade de aproximação).

Resposta

Q = C_d\;\frac{2}{3}\,L\sqrt{2g}\;H^{3/2}

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