O estado de deformação do ponto A é medido por meio de rosetas de deformação. As leituras nos extensômetros dão \varepsilon_{a}=60.10^{-6}, \varepsilon_{b}=135.10^{-6} e \varepsilon_{c}=264.10^{-6}. Determine as deformações principais no plano no ponto e as direções nas quais elas agem.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos um ponto A onde se mede o estado de deformação por meio de uma roseta de três extensômetros equi-angulares de 45\circ, isto é, um extensômetro na direção 0\circ (a), outro em 45\circ (b) e outro em 90\circ (c). As leituras são
\varepsilon_{a}=60\cdot10^{-6},\quad \varepsilon_{b}=135\cdot10^{-6},\quad \varepsilon_{c}=264\cdot10^{-6}.
Queremos determinar as deformações principais \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} no plano e as direções das suas linhas de ação. Para isso, usaremos a teoria de transformação de deformações no plano e as fórmulas da roseta de 45\circ.

Passo 2

Identificação das componentes de deformação no sistema referência x y
Escolhemos como eixo x a direção do extensômetro a ( 0\circ) e como eixo y a direção de c ( 90\circ). Então
\varepsilon_{x} = \varepsilon_{a} = 60\cdot10^{-6}, \qquad \varepsilon_{y} = \varepsilon_{c} = 264\cdot10^{-6}.
A deformação de cisalhamento \gamma_{xy} aparece na leitura de 45\circ segundo a relação de transformação para extensômetro a 45\circ:
\varepsilon_{b} = \frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} + \frac{\gamma_{xy}}{2}.

Passo 3

Cálculo de \gamma_{xy}
Primeiro calculemos a média
\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} = \frac{60\cdot10^{-6} + 264\cdot10^{-6}}{2} = 162\cdot10^{-6}.
Da fórmula de \varepsilon_{b} temos
\gamma_{xy} = 2\,\varepsilon_{b} - \bigl(\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}\bigr) = 2\cdot135\cdot10^{-6} - 324\cdot10^{-6} = -54\cdot10^{-6}.

Passo 4

Cálculo das deformações principais
As deformações principais são dadas por
\varepsilon_{1,2} = \frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\gamma_{xy}}{2}\Bigr)^{2}}.
Calculemos os termos internos:
\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2} = \frac{60\cdot10^{-6} - 264\cdot10^{-6}}{2} = -102\cdot10^{-6}, \qquad \frac{\gamma_{xy}}{2} = -27\cdot10^{-6}.
Logo o discriminante é
\sqrt{(-102\cdot10^{-6})^{2} + (-27\cdot10^{-6})^{2}} = \sqrt{10404 + 729}\times10^{-12} = \sqrt{11133}\times10^{-6} \approx 105{,}5\cdot10^{-6}.
Assim
\varepsilon_{1} = 162\cdot10^{-6} + 105{,}5\cdot10^{-6} = 267{,}5\cdot10^{-6}, \quad \varepsilon_{2} = 162\cdot10^{-6} - 105{,}5\cdot10^{-6} = 56{,}5\cdot10^{-6}.

Passo 5

Cálculo das direções principais
O ângulo \theta_{p} entre o eixo x (direção do extensômetro a) e o eixo de \varepsilon_{1} satisfaz
\tan 2\theta_{p} = \frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}} = \frac{-54\cdot10^{-6}}{60\cdot10^{-6}-264\cdot10^{-6}} = \frac{-54}{-204} \approx 0{,}2647.
Logo
2\theta_{p}\approx 14{,}86^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta_{p}\approx 7{,}43^\circ.
O eixo de \varepsilon_{2} está a 90^\circ de \theta_{p}.

Resposta

\displaystyle \varepsilon_{1}\approx 267{,}5\times10^{-6},\quad \varepsilon_{2}\approx 56{,}5\times10^{-6}.
A direção de \varepsilon_{1} faz aproximadamente 7{,}43^\circ com a direção do extensômetro a ( 0\circ) e a de \varepsilon_{2} fica a 97{,}43^\circ.

Exercícios relacionados