O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes abaixo. Determine o estado de deformação de um elemento orientado a 20^circ em sentido horário em relação a essa posição informada.
varepsilonx=-300(10^-6) ; varepsilony=-100(10^-6) ; gammax y=100(10^-6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o estado de deformação de um elemento que foi girado 20 graus no sentido horário a partir de uma posição inicial. Para isso, vamos trabalhar com o estado plano de deformação, que envolve as componentes de deformação varepsilonx, varepsilony e gammaxy. Precisaremos usar as fórmulas de rotação de eixos para encontrar as novas componentes após a rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação para as componentes de deformação em um estado plano. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo theta, as novas componentes de deformação varepsilonx', varepsilony' e gammax'y' podem ser calculadas usando as seguintes equações:
varepsilonx' = varepsilonx + varepsilony2 + varepsilonx - varepsilony2cos(2theta) + gammaxy2sin(2theta)
varepsilony' = varepsilonx + varepsilony2 - varepsilonx - varepsilony2cos(2theta) - gammaxy2sin(2theta)
gammax'y' = -(varepsilonx - varepsilony)sin(2theta) + gammaxycos(2theta)
Essas equações nos permitem calcular as novas componentes de deformação após a rotação.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos e o que precisamos calcular. Temos:
varepsilonx = -300 times 10^-6
varepsilony = -100 times 10^-6
gammaxy = 100 times 10^-6
theta = 20^circ
Como o enunciado diz que a rotação é no sentido horário, usamos theta = -20^circ.

Passo 4

Vamos calcular cos(2theta) e sin(2theta):
2theta = 2 times (-20^circ) = -40^circ
cos(-40^circ) = cos(40^circ) approx 0,7660
sin(-40^circ) = -sin(40^circ) approx -0,6428

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula para varepsilonx':
varepsilonx' = -300 times 10^-6 + (-100 times 10^-6)2 + -300 times 10^-6 - (-100 times 10^-6)2 times 0,7660 + 100 times 10^-62 times (-0,6428)
Calculando passo a passo:
-300 times 10^-6 + (-100 times 10^-6)2 = -400 times 10^-62 = -200 times 10^-6
-300 times 10^-6 - (-100 times 10^-6)2 = -200 times 10^-62 = -100 times 10^-6
-100 times 10^-6 times 0,7660 = -76,60 times 10^-6
100 times 10^-62 times (-0,6428) = 50 times 10^-6 times (-0,6428) = -32,14 times 10^-6
Somando tudo:
varepsilonx' = -200 times 10^-6 - 76,60 times 10^-6 - 32,14 times 10^-6 = -308,74 times 10^-6

Passo 6

Agora, vamos calcular varepsilony' usando a segunda fórmula:
varepsilony' = -300 times 10^-6 + (-100 times 10^-6)2 - -300 times 10^-6 - (-100 times 10^-6)2 times 0,7660 - 100 times 10^-62 times (-0,6428)
Calculando passo a passo:
-300 times 10^-6 + (-100 times 10^-6)2 = -200 times 10^-6
-300 times 10^-6 - (-100 times 10^-6)2 = -100 times 10^-6
-100 times 10^-6 times 0,7660 = -76,60 times 10^-6
100 times 10^-62 times (-0,6428) = -32,14 times 10^-6
Somando tudo:
varepsilony' = -200 times 10^-6 - 76,60 times 10^-6 + 32,14 times 10^-6 = -244,46 times 10^-6

Passo 7

Por fim, vamos calcular gammax'y' usando a terceira fórmula:
gammax'y' = -(-300 times 10^-6 - (-100 times 10^-6)) times (-0,6428) + 100 times 10^-6 times 0,7660
Simplificando:
gammax'y' = -(-200 times 10^-6) times (-0,6428) + 76,60 times 10^-6
= -200 times 10^-6 times 0,6428 + 76,60 times 10^-6
= -128,56 times 10^-6 + 76,60 times 10^-6 = -51,96 times 10^-6

Resposta

Após a rotação de 20 graus no sentido horário, as componentes do estado de deformação são:
varepsilonx' = -308,74 times 10^-6
varepsilony' = -244,46 times 10^-6
gammax'y' = -51,96 times 10^-6

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