O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes abaixo. Determine o estado de deformação de um elemento orientado a
em sentido horário em relação a essa posição informada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o estado de deformação de um elemento que foi girado 20 graus no sentido horário a partir de uma posição inicial. Para isso, vamos trabalhar com o estado plano de deformação, que envolve as componentes de deformação
,
e
. Precisaremos usar as fórmulas de rotação de eixos para encontrar as novas componentes após a rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação para as componentes de deformação em um estado plano. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo
, as novas componentes de deformação
,
e
podem ser calculadas usando as seguintes equações:
Essas equações nos permitem calcular as novas componentes de deformação após a rotação.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos e o que precisamos calcular. Temos:
Como o enunciado diz que a rotação é no sentido horário, usamos
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula para
:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando a segunda fórmula:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Passo 7
Por fim, vamos calcular
usando a terceira fórmula:
Simplificando:
Resposta
Após a rotação de 20 graus no sentido horário, as componentes do estado de deformação são: