Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
Passo 1
O enunciado dá os componentes do estado plano de tensões (peguei estes números do enunciado) e pede várias coisas:
- Dados fornecidos:
-
- O que é pedido:
- As tensões normais principais (
e ). - Os planos principais (as orientações em relação ao eixo
). - A máxima tensão de cisalhamento no plano
(isto é, a tensão de cisalhamento atuante no plano do elemento original — vou entender isto como a tensão de cisalhamento no plano cuja normal é o eixo , que é , porque não foi enviada figura diferente). - A tensão de cisalhamento máxima (máxima absoluta que pode ocorrer em qualquer plano).
- Fazer os desenhos do elemento de volume (vou descrever passo a passo como desenhar o elemento e o círculo de Mohr).
- As tensões normais principais (
- Observação importante: não foi enviada figura extra; por isso interpretei o plano
como a face do elemento associada à componente fornecida. Se for outra face na figura original, os passos para obter a tensão de cisalhamento naquela face são os mesmos e basta aplicar as fórmulas abaixo com o ângulo correto.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando devagar):
- Para um estado plano de tensões com componentes
definimos a tensão média (tensão média normal) como
Isto é simplesmente a média aritmética das duas tensões normais nas faces ortogonais do elemento.
- A diferença semi-diferença é
- O raio do círculo de Mohr (que nos dá a amplitude das variações de tensão) é
Interpretando: o círculo de Mohr tem centro em
no eixo das tensões normais e raio
. Os pontos extremos horizontais do círculo são as tensões principais.
- As tensões principais (normais) são
- O ângulo do plano principal (medido a partir do eixo
, sentido anti-horário positivo), chama-se e satisfaz
Isto significa que primeiro encontra-se
por arctan e depois divide-se por 2. Note que a equação dá duas direções principais separadas por
.
- A máxima tensão de cisalhamento absoluta (em qualquer plano) vale
- A tensão de cisalhamento no plano
(face com normal no eixo ), isto é , é a que está no enunciado. Se for pedido o valor da componente de cisalhamento no plano e for a face , então essa é .
Vou agora aplicar essas fórmulas com as contas detalhadas.
Passo 3
Calcular os valores intermediários numéricos com cuidado (sempre em
):
- Tensão média:
- Semi-diferença:
- Raio
:
Passo 4
Calcular as tensões principais usando
e
:
Interpretação física:
é uma pequena tração (positivo),
é uma compressão maior (negativo). As unidades são
.
Passo 5
Determinar os planos principais (ângulos):
- Primeiro calcule
pela tangente:
- Logo
- Então
Em radianos isso é
Há duas direções principais ortogonais:
e
. Assim:
Nota sobre sinal/ambiguidade: arctan fornece um ângulo modulo
para
; dividir por 2 dá as direções principais modulo
. Estas duas direções são as que anulam a componente de cisalhamento no elemento (ou seja, nas faces principais o cisalhamento é zero e atuam apenas as tensões
e
).
Passo 6
Tensão de cisalhamento no plano
e máxima tensão de cisalhamento:
- Conforme indiquei no Passo 1, interpreto o plano
como a face original associada a . Então a tensão de cisalhamento no plano é simplesmente o valor dado:
(Expliquei explicitamente porque peguei esse valor do enunciado.)
- A tensão de cisalhamento máxima (em qualquer plano) é igual ao raio
, portanto
Observação:
é maior que
— isto é normal: a maior cisalhamento possível numa certa orientação (a
relativa ao plano principal) pode ser maior que a cisalhamento numa face original.
Passo 7
Orientações das máximas tensões de cisalhamento:
- As direções onde ocorre
estão a das direções principais. Assim, se uma direção principal é , então uma direção de máximo cisalhamento é
e a outra é
. Nessas direções a componente de tensão normal vale
(a média) e a cisalhamento vale
.
Passo 8
Como desenhar (passo a passo) — instruções para fazer os desenhos pedidos no enunciado:
- Elemento inicial (eixos
): - Desenhe um quadrado simples representando o elemento. No lado direito (face perpendicular a
) desenhe setas horizontais apontando para dentro (compressão) com intensidade e rotule . - No lado superior (face perpendicular a
) desenhe setas verticais apontando para dentro (compressão) com intensidade e rotule . - Em uma das faces desenhe a seta de cisalhamento
corretamente orientada de acordo com a convenção; rotule-a.
- Desenhe um quadrado simples representando o elemento. No lado direito (face perpendicular a
- Elemento nos planos principais:
- Desenhe outro quadrado rotacionado de modo que seus eixos coincidam com
. Nas faces deste quadrado mostre apenas tensões normais: no par de faces uma terá (tração pequena) e na faces perpendiculares (compressão grande). Não desenhe cisalhamento aqui (será zero).
- Desenhe outro quadrado rotacionado de modo que seus eixos coincidam com
- Elemento nas direções de máximo cisalhamento:
- Desenhe um elemento rotacionado de
. Nas faces mostre tensões normais iguais a e cisalhamentos .
- Desenhe um elemento rotacionado de
- Círculo de Mohr (muito útil para checar):
- Desenhe um sistema de eixos com tensão normal horizontal e cisalhamento vertical.
- Marque os pontos correspondentes à face
: e à face : (observe a convenção de sinal para o segundo ponto). - O centro do círculo fica em
e o raio é . Marque os pontos extremos horizontais do círculo: e . - A projeção vertical máxima do círculo dá
.
Esses desenhos permitem visualizar claramente as tensões principais, as direções de máximo cisalhamento e compararcom .
Resposta
Tensões principais:
Planos principais (ângulos em relação ao eixo ):
Tensão de cisalhamento no plano (peguei
do enunciado):
Tensão de cisalhamento máxima:
Planos principais (ângulos em relação ao eixo
Tensão de cisalhamento no plano
Tensão de cisalhamento máxima: