Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
\sigma_{x}=-100 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-200 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=150 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado dá os componentes do estado plano de tensões (peguei estes números do enunciado) e pede várias coisas:
  • Dados fornecidos:
    • \sigma_{x}=-100\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{y}=-200\\ \mathrm{MPa}
    • \tau_{xy}=150\\ \mathrm{MPa}
  • O que é pedido:
    1. As tensões normais principais ( \sigma_1 e \sigma_2).
    2. Os planos principais (as orientações em relação ao eixo x).
    3. A máxima tensão de cisalhamento no plano ab (isto é, a tensão de cisalhamento atuante no plano ab do elemento original — vou entender isto como a tensão de cisalhamento no plano cuja normal é o eixo x, que é \tau_{xy}, porque não foi enviada figura diferente).
    4. A tensão de cisalhamento máxima (máxima absoluta que pode ocorrer em qualquer plano).
    5. Fazer os desenhos do elemento de volume (vou descrever passo a passo como desenhar o elemento e o círculo de Mohr).
  • Observação importante: não foi enviada figura extra; por isso interpretei o plano ab como a face do elemento associada à componente \tau_{xy} fornecida. Se ab for outra face na figura original, os passos para obter a tensão de cisalhamento naquela face são os mesmos e basta aplicar as fórmulas abaixo com o ângulo correto.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando devagar):
  • Para um estado plano de tensões com componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} definimos a tensão média (tensão média normal) como
\bar{\sigma}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
Isto é simplesmente a média aritmética das duas tensões normais nas faces ortogonais do elemento.
  • A diferença semi-diferença é
\Delta=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}.
  • O raio do círculo de Mohr (que nos dá a amplitude das variações de tensão) é
R=\sqrt{\Delta^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Interpretando: o círculo de Mohr tem centro em \bar\sigma no eixo das tensões normais e raio R. Os pontos extremos horizontais do círculo são as tensões principais.
  • As tensões principais (normais) são
\sigma_{1}=\bar{\sigma}+R,\qquad \sigma_{2}=\bar{\sigma}-R.
  • O ângulo do plano principal (medido a partir do eixo x, sentido anti-horário positivo), chama-se \theta_p e satisfaz
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{2\tau_{xy}}{2\Delta}=\frac{\tau_{xy}}{\Delta}.
Isto significa que primeiro encontra-se 2\theta_p por arctan e depois divide-se por 2. Note que a equação dá duas direções principais separadas por 90^\circ.
  • A máxima tensão de cisalhamento absoluta (em qualquer plano) vale
\tau_{\max}=R.
  • A tensão de cisalhamento no plano x (face com normal no eixo x), isto é \tau_{xy}, é a que está no enunciado. Se for pedido o valor da componente de cisalhamento no plano ab e ab for a face x, então essa é \tau_{xy}.
Vou agora aplicar essas fórmulas com as contas detalhadas.

Passo 3

Calcular os valores intermediários numéricos com cuidado (sempre em \mathrm{MPa}):
  • Tensão média:
\bar{\sigma}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{-100 + (-200)}{2}=\frac{-300}{2}=-150\\ \mathrm{MPa}.
  • Semi-diferença:
\Delta=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{-100 - (-200)}{2}=\frac{100}{2}=50\\ \mathrm{MPa}.
  • Raio R:
R=\sqrt{\Delta^{2}+\tau_{xy}^{2}}=\sqrt{50^{2}+150^{2}}=\sqrt{2500+22500}=\sqrt{25000}=50\sqrt{10}\approx158,1139\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular as tensões principais usando \bar{\sigma} e R:
\sigma_{1}=\bar{\sigma}+R=-150+158{,}1139=8{,}1139\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2}=\bar{\sigma}-R=-150-158{,}1139=-308{,}1139\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação física: \sigma_{1} é uma pequena tração (positivo), \sigma_{2} é uma compressão maior (negativo). As unidades são \mathrm{MPa}.

Passo 5

Determinar os planos principais (ângulos):
  • Primeiro calcule 2\theta_p pela tangente:
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{300}{100}=3.
  • Logo
2\theta_p=\arctan(3)\approx71{,}565051^\circ.
  • Então
\theta_p=\frac{1}{2}\arctan(3)\approx35{,}782526^\circ\approx35{,}78^\circ.
Em radianos isso é
\theta_p\approx0{,}624\\ \text{rad}.
Há duas direções principais ortogonais: \theta_{p1}=\theta_p e \theta_{p2}=\theta_p+90^\circ. Assim:
\theta_{p1}\approx35{,}78^\circ,\qquad \theta_{p2}\approx125{,}78^\circ.
Nota sobre sinal/ambiguidade: arctan fornece um ângulo modulo 180^\circ para 2\theta; dividir por 2 dá as direções principais modulo 90^\circ. Estas duas direções são as que anulam a componente de cisalhamento no elemento (ou seja, nas faces principais o cisalhamento é zero e atuam apenas as tensões \sigma_1 e \sigma_2).

Passo 6

Tensão de cisalhamento no plano ab e máxima tensão de cisalhamento:
  • Conforme indiquei no Passo 1, interpreto o plano ab como a face original associada a \tau_{xy}. Então a tensão de cisalhamento no plano ab é simplesmente o valor dado:
\tau_{ab}=\tau_{xy}=150\\ \mathrm{MPa}.
(Expliquei explicitamente porque peguei esse valor do enunciado.)
  • A tensão de cisalhamento máxima (em qualquer plano) é igual ao raio R, portanto
\tau_{\max}=R=50\sqrt{10}\approx158{,}1139\\ \mathrm{MPa}.
Observação: \tau_{\max} é maior que \tau_{ab} — isto é normal: a maior cisalhamento possível numa certa orientação (a 45^\circ relativa ao plano principal) pode ser maior que a cisalhamento numa face original.

Passo 7

Orientações das máximas tensões de cisalhamento:
  • As direções onde ocorre \tau_{\max} estão a 45^\circ das direções principais. Assim, se uma direção principal é \theta_{p1}, então uma direção de máximo cisalhamento é
\theta_{s1}=\theta_{p1}+45^\circ\approx35{,}78^\circ+45^\circ=80{,}78^\circ,
e a outra é \theta_{s2}=\theta_{s1}+90^\circ\approx170{,}78^\circ. Nessas direções a componente de tensão normal vale \bar\sigma (a média) e a cisalhamento vale \pm\tau_{\max}.

Passo 8

Como desenhar (passo a passo) — instruções para fazer os desenhos pedidos no enunciado:
  1. Elemento inicial (eixos x,y):
    • Desenhe um quadrado simples representando o elemento. No lado direito (face perpendicular a x) desenhe setas horizontais apontando para dentro (compressão) com intensidade |\sigma_x|=100\\ \mathrm{MPa} e rotule \sigma_x=-100\\ \mathrm{MPa}.
    • No lado superior (face perpendicular a y) desenhe setas verticais apontando para dentro (compressão) com intensidade |\sigma_y|=200\\ \mathrm{MPa} e rotule \sigma_y=-200\\ \mathrm{MPa}.
    • Em uma das faces desenhe a seta de cisalhamento \tau_{xy}=150\\ \mathrm{MPa} corretamente orientada de acordo com a convenção; rotule-a.
  2. Elemento nos planos principais:
    • Desenhe outro quadrado rotacionado de modo que seus eixos coincidam com \theta_{p1}\approx35{,}78^\circ. Nas faces deste quadrado mostre apenas tensões normais: no par de faces uma terá \sigma_1\approx8{,}114\\ \mathrm{MPa} (tração pequena) e na faces perpendiculares \sigma_2\approx-308{,}114\\ \mathrm{MPa} (compressão grande). Não desenhe cisalhamento aqui (será zero).
  3. Elemento nas direções de máximo cisalhamento:
    • Desenhe um elemento rotacionado de \theta_{s1}\approx80{,}78^\circ. Nas faces mostre tensões normais iguais a \bar\sigma=-150\\ \mathrm{MPa} e cisalhamentos \pm\tau_{\max}\approx\pm158{,}114\\ \mathrm{MPa}.
  4. Círculo de Mohr (muito útil para checar):
    • Desenhe um sistema de eixos com tensão normal horizontal e cisalhamento vertical.
    • Marque os pontos correspondentes à face x: (\sigma_x,\tau_{xy})=(-100,150) e à face y: (\sigma_y,-\tau_{xy})=(-200,-150) (observe a convenção de sinal para o segundo ponto).
    • O centro do círculo fica em (\bar\sigma,0)=(-150,0) e o raio é R\approx158{,}114. Marque os pontos extremos horizontais do círculo: \sigma_1 e \sigma_2.
    • A projeção vertical máxima do círculo dá \tau_{\max}.
      Esses desenhos permitem visualizar claramente as tensões principais, as direções de máximo cisalhamento e comparar \tau_{ab} com \tau_{\max}.

Resposta

Tensões principais: \sigma_{1}=8{,}1139\\ \mathrm{MPa},\\ \sigma_{2}=-308{,}1139\\ \mathrm{MPa}
Planos principais (ângulos em relação ao eixo x): \theta_{p1}\approx35{,}78^\circ,\\ \theta_{p2}\approx125{,}78^\circ
Tensão de cisalhamento no plano ab (peguei \tau_{xy} do enunciado): \tau_{ab}=150\\ \mathrm{MPa}
Tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=50\sqrt{10}\approx158{,}1139\\ \mathrm{MPa}

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