Um vaso de pressão esférico com diâmetro externo de 900 mm deve ser fabricado de aço com \mathrm{s}_{\text {esc }}=400 \mathrm{MPa}. Sabendo que a pressão máxima pode chegar a 3,5 \mathrm{MPa} e o fator de segurança deve ser 4,0 , determine a menor espessura da chapa usada para fabricação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro externo do vaso: D=900\\ \mathrm{mm}.
    • Tensão de escoamento do aço: \mathrm{s}_{\text{esc}}=400\\ \mathrm{MPa}.
    • Pressão máxima de serviço: p_{\max}=3,5\\ \mathrm{MPa}.
    • Fator de segurança: N=4,0.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a menor espessura da chapa usada para a fabricação do vaso esférico.

Passo 2

Explicação do conceito de fator de segurança e tensão admissível.
  • O fator de segurança N diz basicamente quanto abaixo da resistência do material devemos operar. A tensão admissível (ou permitida) do material é obtida dividindo-se a tensão de escoamento pelo fator de segurança:
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\mathrm{s}_{\text{esc}}}{N}.
  • Aqui, \mathrm{s}_{\text{esc}} é a tensão de escoamento do material (unidade: \mathrm{Pa} ou \mathrm{MPa}) e N é adimensional. A \sigma_{\text{adm}} tem a mesma unidade de \mathrm{s}_{\text{esc}}.

Passo 3

Formula para tensão em uma casca esférica submetida à pressão interna (membrana, parede fina) e sua derivação curta e intuitiva.
  • Para uma casca esférica fina submetida a pressão interna uniforme, a tensão membrana (tensão tangencial) é dada por
\sigma=\frac{p\,r}{2\,t},
onde:
  • p é a pressão interna (unidade: \mathrm{Pa});
  • r é o raio interno da esfera (unidade: \mathrm{m});
  • t é a espessura da parede (unidade: \mathrm{m});
  • \sigma é a tensão membrana (unidade: \mathrm{Pa}).
  • Derivação rápida (ideia física): separar a esfera em duas metades; a força resultante da pressão sobre a seção circular é p\cdot \pi r^2. Essa força é equilibrada pelas tensões na parede atuando ao longo do contorno da seção; o resultado dá p\pi r^2 = 2\pi r t \sigma. Simplificando surge \sigma = p r /(2 t).

Passo 4

Condição de segurança: a tensão gerada pela pressão não pode ultrapassar a tensão admissível.
  • Impor \sigma \le \sigma_{\text{adm}}. Para projetar a menor espessura, igualamos:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{p\,r}{2\,t_{\min}}.
  • Isolando t_{\min}:
t_{\min}=\frac{p\,r}{2\,\sigma_{\text{adm}}}.
  • Substituindo \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\mathrm{s}_{\text{esc}}}{N} obtemos uma forma útil:
t_{\min}=\frac{p\,r}{2}\cdot\frac{N}{\mathrm{s}_{\text{esc}}}=\frac{p\,D}{4}\cdot\frac{N}{\mathrm{s}_{\text{esc}}},
pois r=D/2.

Passo 5

Converter unidades e calcular passo a passo.
  • Converte-se tudo para o SI (metros e pascals):
    • D=900\\ \mathrm{mm}=0,900\\ \mathrm{m}.
    • r=\dfrac{D}{2}=0,450\\ \mathrm{m}.
    • p_{\max}=3,5\\ \mathrm{MPa}=3{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • \mathrm{s}_{\text{esc}}=400\\ \mathrm{MPa}=400\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • N=4{,}0.
  • Calcular a tensão admissível:
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\mathrm{s}_{\text{esc}}}{N}=\frac{400\times10^{6}}{4}=100\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=100\\ \mathrm{MPa}.
  • Usar a fórmula t_{\min}=\dfrac{p\,r}{2\,\sigma_{\text{adm}}}:
t_{\min}=\frac{3{,}5\times10^{6}\cdot 0{,}450}{2\cdot 100\times10^{6}}.
  • Calcular numericamente:
t_{\min}=\frac{1{,}575\times10^{6}}{200\times10^{6}}=0{,}007875\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros:
t_{\min}=0{,}007875\\ \mathrm{m}=7{,}875\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Verificação da hipótese de parede fina e arredondamento prático.
  • A hipótese de casca de parede fina é válida quando t\ll r, com critério usual t<r/10.
    • Aqui r/10=0{,}450/10=0{,}045\\ \mathrm{m}=45\\ \mathrm{mm}.
    • Como t_{\min}=7{,}875\\ \mathrm{mm}\ll 45\\ \mathrm{mm}, a hipótese de parede fina é válida.
  • Em projeto prático costuma-se adotar a próxima espessura comercial padrão superior para permitir usinagem e tolerâncias. Assim, arredondando para um valor comercial, adota-se t=8\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Recapitulando o raciocínio de forma curta (sem repetir a resposta isolada): a expressão usada foi a tensão membrana da esfera \sigma=\dfrac{p\,r}{2t}, a tensão admissível \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\mathrm{s}_{\text{esc}}}{N}, e resolvemos para t obtendo t_{\min}=7{,}875\\ \mathrm{mm}, com escolha prática de 8\\ \mathrm{mm}.

Resposta

t_{\min}=7{,}875\\ \mathrm{mm} (adotar comercialmente t=8\\ \mathrm{mm}).

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