Um vaso de pressão esférico com diâmetro externo de 900 mm deve ser fabricado de aço com
. Sabendo que a pressão máxima pode chegar a
e o fator de segurança deve ser 4,0 , determine a menor espessura da chapa usada para fabricação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados fornecidos:
- Diâmetro externo do vaso:
. - Tensão de escoamento do aço:
. - Pressão máxima de serviço:
. - Fator de segurança:
.
- Diâmetro externo do vaso:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a menor espessura da chapa usada para a fabricação do vaso esférico.
Passo 2
Explicação do conceito de fator de segurança e tensão admissível.
- O fator de segurança
diz basicamente quanto abaixo da resistência do material devemos operar. A tensão admissível (ou permitida) do material é obtida dividindo-se a tensão de escoamento pelo fator de segurança:
- Aqui,
é a tensão de escoamento do material (unidade: ou ) e é adimensional. A tem a mesma unidade de .
Passo 3
Formula para tensão em uma casca esférica submetida à pressão interna (membrana, parede fina) e sua derivação curta e intuitiva.
- Para uma casca esférica fina submetida a pressão interna uniforme, a tensão membrana (tensão tangencial) é dada por
onde:
-
é a pressão interna (unidade: ); -
é o raio interno da esfera (unidade: ); -
é a espessura da parede (unidade: ); -
é a tensão membrana (unidade: ). -
Derivação rápida (ideia física): separar a esfera em duas metades; a força resultante da pressão sobre a seção circular é
. Essa força é equilibrada pelas tensões na parede atuando ao longo do contorno da seção; o resultado dá . Simplificando surge .
Passo 4
Condição de segurança: a tensão gerada pela pressão não pode ultrapassar a tensão admissível.
- Impor
. Para projetar a menor espessura, igualamos:
- Isolando
:
- Substituindo
obtemos uma forma útil:
pois
.
Passo 5
Converter unidades e calcular passo a passo.
-
Converte-se tudo para o SI (metros e pascals):
-
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Calcular a tensão admissível:
- Usar a fórmula
:
- Calcular numericamente:
- Converter para milímetros:
Passo 6
Verificação da hipótese de parede fina e arredondamento prático.
- A hipótese de casca de parede fina é válida quando
, com critério usual . - Aqui
. - Como
, a hipótese de parede fina é válida.
- Aqui
- Em projeto prático costuma-se adotar a próxima espessura comercial padrão superior para permitir usinagem e tolerâncias. Assim, arredondando para um valor comercial, adota-se
.
Passo 7
Recapitulando o raciocínio de forma curta (sem repetir a resposta isolada): a expressão usada foi a tensão membrana da esfera
, a tensão admissível
, e resolvemos para
obtendo
, com escolha prática de
.