PV. 8 Estamos planejando operar um reator em batelada para converter A em R. Essa é uma reação em fase líquida, com estequiometria A-> R e taxa de reação dada pela tabela. Quanto tempo devemos reagir cada batelada para que a concentração caia de \mathrm{C}_{\mathrm{Ao}}=1,3 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para \mathrm{C}_{\mathrm{A}}=0,3 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ?
\mathrm{C}_{\mathrm{A}}, \mathrm{mmol} / \mathrm{L} (-r { }_{\mathrm{A}} ), mol/(L*min)
0,1 0,100
0,2 0,300
0,3 0,500
0,4 0,600
0,5 0,500
0,6 0,250
0,7 0,100
0,8 0,060
1,0 0,050
1,3 0,045
2,0 0,042

Passo 1

O enunciado descreve um reator em batelada onde a reação é A \to R, e a taxa de consumo de A em função da concentração \,C_A está tabulada. Precisamos calcular o tempo de reação necessário para que a concentração de A caia de
C_{A0}=1,3\\ \mathrm{mol/L}
até
C_{A}=0,3\\ \mathrm{mol/L}.
O conteúdo aplicado aqui é a equação de projeto de reator em batelada, que se baseia em
\frac{dC_A}{dt}=-r_A(C_A)\quad\Longrightarrow\quad dt=-\frac{dC_A}{r_A(C_A)}.

Passo 2

Partindo de
\frac{dC_A}{dt}=-r_A(C_A),
integrando de t=0 C_A=C_{A0} até t=t_f C_A=C_A obtemos
t_f=\int_{0}^{t_f}dt =\int_{C_{A0}}^{C_A}\Bigl(-\frac{dC_A}{r_A(C_A)}\Bigr) =\int_{C_A}^{C_{A0}}\frac{dC_A}{r_A(C_A)}.

Passo 3

Vamos usar os pontos de concentração entre C_A=0,3 e C_A=1,3 na tabela e aplicar a regra trapezoidal para
t_f=\int_{0,3}^{1,3}\frac{dC_A}{r_A(C_A)}.
Extraindo da tabela: C_A (mol/L): 0,30,40,50,60,70,81,01,3 -r_A (mo l\cdot L ^{-1}·min ^{-1}): 0,50,60,50,250,100,060,050,045
Em cada ponto calculamos
\frac{1}{r_A}:
2,001,672,004,0010,016,6720,022,22

Passo 4

Aplicando a regra trapezoidal por subintervalos \Delta C_A e médias de 1/r_A:
Subintervalo Δ C_A 1/r_A inícios e fins Área
0,3\to 0,40,1 ( 2,00+1,67)/ 20,18330,4\to 0,50,1 ( 1,67+2,00)/ 20,18330,5\to 0,60,1 ( 2,00+4,00)/ 20,30000,6\to 0,70,1 ( 4,00+10,0)/ 20,70000,7\to 0,80,1 ( 10,0+16,67)/ 21,33330,8\to 1,00,2 ( 16,67+20,0)/ 23,66671,0\to 1,30,3 ( 20,0+22,22)/ 26,3333
Somando todas as áreas obtemos
t_f\approx0,1833+0,1833+0,3000+0,7000+1,3333+3,6667+6,3333=12,7\\ \text{min}.

Resposta

O tempo de reação necessário é aproximadamente 12,7 minutos.

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