Uma estátua de altura h está sendo instalada sobre um pedestal de altura l acima do plano horizontal que passa pelo olho de um observador. Com o observador a uma distância x, calcule a taxa de variação, em relação a x, do ângulo theta sob o qual o observador vê a estátua, em termos de h, l e x. Qual o valor dessa taxa se h = 20 ; l = 5 e x = 50 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma estátua de altura montada sobre um pedestal que tem altura . Esse pedestal está acima do nível dos olhos de um observador. O observador está a uma distância da base do pedestal. Queremos descobrir como o ângulo , que o observador forma para ver a estátua, muda quando a distância varia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que o observador está olhando para a estátua. A linha de visão do observador vai do nível dos olhos até o topo da estátua. O ângulo é formado entre a linha horizontal (a linha dos olhos do observador) e essa linha de visão.

Passo 3

Para encontrar o ângulo , podemos usar a função tangente, que em um triângulo retângulo relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente. Nesse caso, o cateto oposto é a altura total da estátua mais o pedestal, ou seja, , e o cateto adjacente é a distância .
Assim, temos:

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação acima em relação a .
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é , mas como queremos , usaremos a regra da cadeia.
Diferenciando ambos os lados da equação:

Passo 5

Isolando :
Sabemos que . Além disso, da equação inicial , podemos usar a identidade para expressar .
Calculando :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A taxa de variação do ângulo em relação a é:
Para os valores , e :

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