Uma estátua de altura h está sendo instalada sobre um pedestal de altura
acima do plano horizontal que passa pelo olho de um observador. Com o observador a uma distância
, calcule a taxa de variação, em relação a
, do ângulo
sob o qual o observador vê a estátua, em termos de
e
. Qual o valor dessa taxa se
e
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma estátua de altura
montada sobre um pedestal que tem altura
. Esse pedestal está acima do nível dos olhos de um observador. O observador está a uma distância
da base do pedestal. Queremos descobrir como o ângulo
, que o observador forma para ver a estátua, muda quando a distância
varia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que o observador está olhando para a estátua. A linha de visão do observador vai do nível dos olhos até o topo da estátua. O ângulo
é formado entre a linha horizontal (a linha dos olhos do observador) e essa linha de visão.
Passo 3
Para encontrar o ângulo
, podemos usar a função tangente, que em um triângulo retângulo relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente. Nesse caso, o cateto oposto é a altura total da estátua mais o pedestal, ou seja,
, e o cateto adjacente é a distância
.
Assim, temos:
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a equação acima em relação a
.
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é
, mas como queremos
, usaremos a regra da cadeia.
Diferenciando ambos os lados da equação:
Passo 5
Isolando
:
Sabemos que
. Além disso, da equação inicial
, podemos usar a identidade
para expressar
.
Calculando
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A taxa de variação do ângulo
em relação a
é:
Para os valores
,
e
: