Estime a incerteza no momento linear de um elétron que está em um OHQ (no estado fundamental) se desejarmos obter a sua posição com uma precisão da ordem do raio atômico. Use sigmax approx a0, sendo a0 o raio de Bohr (procure nas referências o valor exato).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um elétron numa órbita de um átomo (mais especificamente, no estado fundamental de um átomo de hidrogênio ou similar). A pergunta quer saber qual é a incerteza no momento linear desse elétron quando a gente tenta medir sua posição com uma precisão do tamanho do raio atômico, que é conhecido como raio de Bohr ( a0).
Vamos usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é uma parte fundamental da mecânica quântica e nos diz que não dá pra saber exatamente duas grandezas que são “parceiras” – nesse caso, posição ( sigmax) e momento linear ( sigmap). Precisamos calcular sigmap sabendo que sigmax approx a0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do Princípio da Incerteza de Heisenberg:
sigmax cdot sigmap >= hbar2
Aqui, sigmax é a incerteza na posição, sigmap é a incerteza no momento linear, e hbar é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente 1.0545718 times 10^-34 , J·s.

Passo 3

Como queremos estimar a incerteza no momento linear ( sigmap) e sabemos que sigmax approx a0, podemos rearranjar a fórmula para isolá-la:
sigmap >= hbar2 cdot sigmax
Substituindo sigmax por a0, temos:
sigmap >= hbar2 cdot a0

Passo 4

Agora, precisamos do valor do raio de Bohr ( a0). Ele é aproximadamente:
a0 approx 5.29177 times 10^-11 , m

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação:
sigmap >= 1.0545718 times 10^-34 , J·s2 cdot 5.29177 times 10^-11 , m
Calculando o denominador:
2 cdot 5.29177 times 10^-11 = 1.058354 times 10^-10 , m

Passo 6

Agora, dividimos hbar pelo denominador:
sigmap >= 1.0545718 times 10^-341.058354 times 10^-10 approx 9.975 times 10^-25 , kg·m/s

Resposta

A incerteza no momento linear do elétron é aproximadamente 1.0 times 10^-24 , kg·m/s.

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