Estime o Módulo de Thiele e derive uma expressão para o fator de efetividade para um catalisador poroso cilíndrico (porosidade varepsilon e tortuosidade tau ) no qual ocorre uma reação A xrightarrowk1 B. Assuma que a reação seja de 1^a ordem e que a altura da partícula seja muito maior que seu diâmetro (formato de agulha).
O que mudaria no equacionamento se não for possível negligenciar a Camada Limite. Expresse as condições de contorno em termos do número de Biot mássico ( BiM ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar o Módulo de Thiele e derivar uma expressão para o fator de efetividade em um catalisador poroso cilíndrico onde ocorre uma reação de primeira ordem $ A \xrightarrow{k_{1}} B A xrightarrowk1 B âí \varepsilon varepsilon \tau tau éãçõúá \mathrm{Bi}_{\mathrm{M}} $).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Módulo de Thiele. Ele é uma medida adimensional que relaciona a taxa de reação dentro do catalisador com a taxa de difusão de reagentes. Para catalisadores porosos, ele ajuda a determinar se a reação é controlada pela cinética ou pela transferência de massa.
A fórmula geral do Módulo de Thiele ($ \phi $) para uma reação de primeira ordem é:
phi
Onde:
  • $ k_1 $ é a constante da reação,
  • $ R $ é o raio do catalisador,
  • $ D_{eff} $ é a difusividade efetiva, que para catalisadores porosos é $ D_{eff} = \frac{D}{\tau \varepsilon} $,
  • $ D $ é a difusividade do reagente no meio.

Passo 3

Vamos adaptar a fórmula para o nosso caso de um catalisador cilíndrico. Considerando que a altura é muito maior que o diâmetro, podemos tratar o catalisador como uma “agulha”.
Então, substituindo $ D_{eff} $:
Deff

Passo 4

Agora, vamos derivar a expressão para o fator de efetividade ($ \eta $). Esse fator indica a eficiência com que o catalisador está sendo usado, levando em conta as limitações devido à difusão.
Para uma reação de primeira ordem em uma geometria cilíndrica, o fator de efetividade pode ser expresso como:
eta
Essa expressão mostra que quando $ \phi $ é pequeno (difusão não limitada), $ \eta $ se aproxima de 1, significando alta efetividade. Já para $ \phi $ grande (difusão limitada), $ \eta $ diminui.

Passo 5

Agora, vamos considerar o que acontece se não podemos negligenciar a Camada Limite. A Camada Limite é uma região próxima à superfície do catalisador onde ocorre a transferência de massa. Se não for possível ignorá-la, precisamos incluir esse efeito no nosso modelo.
Para isso, usamos o número de Biot mássico ($ \mathrm{Bi}_{\mathrm{M}} $), que relaciona a resistência à transferência de massa na camada limite com a resistência interna do catalisador.
As condições de contorno então incorporam $ \mathrm{Bi}_{\mathrm{M}} $ e ficam da seguinte forma:
BiM
Onde:
  • $ C $ é a concentração do reagente,
  • $ r = R $ é a superfície do catalisador.
Isso significa que o gradiente de concentração na superfície é proporcional à concentração ali, com a constante de proporcionalidade sendo o número de Biot mássico.

Resposta

O Módulo de Thiele para o catalisador cilíndrico poroso é dado por:
phi = raizk1 R^2 tau varepsilonD
E o fator de efetividade associado é:
eta = 3phi tanh(phi)
Caso não seja possível negligenciar a Camada Limite, as condições de contorno incorporam o número de Biot mássico ($ \mathrm{Bi}_{\mathrm{M}} $) e são expressas por:
BiM

Exercícios relacionados