Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(b) 
 ;
(b)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a função 
 . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos extremos dessa função, ou seja, os pontos onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar onde as inclinações da função são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a 
  e 
 . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável muda enquanto a outra fica fixa.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a 
 :
Agora, a derivada parcial em relação a 
 :
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos), igualamos as derivadas parciais a zero:
Da equação (1), temos:
Passo 4
Substituímos 
  na equação (2):
Como 
 , então 
 .
Passo 5
Agora sabemos que o único ponto crítico é 
 . Para confirmar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, usamos a segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas no ponto 
 :
O discriminante 
  é dado por:
Quando 
 , o teste não é conclusivo. Então, precisamos de outra abordagem.
Passo 7
Observando a função 
 , vemos que ambos os termos são elevados a uma potência par, o que significa que s��o sempre não negativos. A soma de não negativos é mínima quando cada termo é zero:
Portanto, 
  é um ponto mínimo global da função.
Resposta
O ponto extremo da função 
  é um mínimo global no ponto 
 .