Estude a regularidade das funções curvatura das seguintes curvas planas \alpha_{i}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, i=1,2,3,4 :
\alpha_{4}(t)=\left(t, t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a curva plana parametrizada por
\alpha_{4}(t)=\bigl(t,\;t^{2}\bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede para estudar a regularidade da(s) função(ões) curvatura associada(s) a essa curva. Em termos práticos, isso significa:
  • Determinar a expressão da curvatura \kappa(t) (curvatura como função do parâmetro t).
  • Dizer onde essa função está definida (se há pontos em que não faz sentido).
  • Determinar a classe de regularidade (por exemplo: contínua, C^{1}, C^{\infty}, etc.) de \kappa(t) em seu domínio.
  • (Opcional/útil) dizer também se a curvatura vista como função do parâmetro de arco s tem a mesma regularidade.
As informações relevantes dadas: coordenadas explícitas x(t)=t e y(t)=t^{2} para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Fórmula da curvatura para curvas planas parametricamente por t.
Se uma curva plana é dada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), com derivadas suficientes, a curvatura (valor absoluto da curvatura algébrica) em termos do parâmetro t é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicando os símbolos:
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas primeiras de x e y em relação a t (velocidade nas componentes).
  • x''(t) e y''(t) são as derivadas segundas (acelerações nas componentes).
  • O numerador x'y''-y'x'' mede a componente da aceleração ortogonal à velocidade (proporcional à curvatura algébrica).
  • O denominador (x'^{2}+y'^{2})^{3/2} normaliza pelo comprimento da velocidade ao cubo — é essencial que x'^{2}+y'^{2}>0 (curva regular) para a fórmula fazer sentido.
Também é útil lembrar o que significa "classe C^{k}" e "classe C^{\infty}":
  • Uma função é C^{k} se tem derivadas contínuas até a ordem k.
  • É C^{\infty} se tem derivadas contínuas de todas as ordens (ou seja, infinitamente diferenciável).

Passo 3

Calcular as derivadas de \alpha_{4}.
Para \alpha_{4}(t)=(t,t^{2}) temos componente a componente:
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2}.
Derivando:
x'(t)=1,\qquad x''(t)=0,
y'(t)=2t,\qquad y''(t)=2.
Esses são polinômios (funções polinomiais), portanto são C^{\infty} em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Substituir na fórmula da curvatura e simplificar.
Substituindo x',x'',y',y'' na expressão de \kappa(t):
\kappa(t)=\frac{|\,x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\,|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{|\,1\cdot 2 - (2t)\cdot 0\,|}{\bigl(1^{2}+(2t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Simplificando o numerador e o denominador:
\kappa(t)=\frac{2}{\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}}.
Observações imediatas:
  • O numerador é constante 2>0.
  • O denominador \bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2} é estritamente positivo para todo t\in\mathbb{R} (pois 1+4t^{2}\ge 1). Portanto \kappa(t) está bem definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • \kappa(t)>0 para todo t (a parábola tem curvatura positiva com essa escolha de sinal absoluto).

Passo 5

Analisar a regularidade de \kappa(t) como função de t.
A expressão obtida é
\kappa(t)=\frac{2}{\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}}.
Raciocínio sobre regularidade:
  • A função t\mapsto 1+4t^{2} é polinomial, logo é C^{\infty} em \mathbb{R}.
  • A função u\mapsto u^{3/2} é C^{\infty} quando restrita ao conjunto u>0. Como 1+4t^{2}\ge 1>0, a composição t\mapsto(1+4t^{2})^{3/2} é C^{\infty} em \mathbb{R}.
  • A divisão por uma função C^{\infty} que nunca se anula (aqui o denominador é sempre >0) produz uma função C^{\infty}.
    Portanto \kappa(t) é de classe C^{\infty} em todo \mathbb{R}.
Além disso, \kappa(t) é limitada e tende a 0 quando |t|\to\infty:
\lim_{|t|\to\infty}\kappa(t)=0,
e atinge seu máximo em t=0, onde \kappa(0)=2.

Passo 6

Regularidade da curvatura em função do parâmetro de arco s.
Se quisermos ver a curvatura como função do comprimento de arco s (ou seja, \kappa=\kappa(s)), procedemos assim:
  • O comprimento de arco a partir de um parâmetro fixo t_{0} é dado por
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\sqrt{x'(u)^{2}+y'(u)^{2}}\,du=\int_{t_{0}}^{t}\sqrt{1+4u^{2}}\,du.
  • A derivada s'(t)=\sqrt{1+4t^{2}}>0 para todo t, logo s(t) é estritamente crescente e de classe C^{\infty}. Assim, s é localmente invertível e, por ser monotônica global, tem inversa global t=t(s) de classe C^{\infty} (teorema da função inversa).
  • Compondo, \kappa(s)=\kappa\bigl(t(s)\bigr) é composição de funções C^{\infty}, logo \kappa(s) também é C^{\infty} em termos de s.
Conclusão: tanto \kappa(t) quanto \kappa(s) são infinitamente diferenciáveis em todo o domínio relevante.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{2}{\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}}, definida para todo t\in\mathbb{R} e de classe C^{\infty} em \mathbb{R}.
A curvatura em função do parâmetro de arco s também é C^{\infty}.