Estude a regularidade das funções curvatura das seguintes curvas planas
:
Passo 1
O enunciado fornece a curva plana parametrizada por
e pede para estudar a regularidade da(s) função(ões) curvatura associada(s) a essa curva. Em termos práticos, isso significa:
- Determinar a expressão da curvatura
(curvatura como função do parâmetro ). - Dizer onde essa função está definida (se há pontos em que não faz sentido).
- Determinar a classe de regularidade (por exemplo: contínua,
, , etc.) de em seu domínio. - (Opcional/útil) dizer também se a curvatura vista como função do parâmetro de arco
tem a mesma regularidade.
As informações relevantes dadas: coordenadas explícitas
e
para todo
.
Passo 2
Fórmula da curvatura para curvas planas parametricamente por
.
Se uma curva plana é dada por
, com derivadas suficientes, a curvatura (valor absoluto da curvatura algébrica) em termos do parâmetro
é dada por
Explicando os símbolos:
-
e são as derivadas primeiras de e em relação a (velocidade nas componentes). -
e são as derivadas segundas (acelerações nas componentes). - O numerador
mede a componente da aceleração ortogonal à velocidade (proporcional à curvatura algébrica). - O denominador
normaliza pelo comprimento da velocidade ao cubo — é essencial que (curva regular) para a fórmula fazer sentido.
Também é útil lembrar o que significa "classe
" e "classe
":
- Uma função é
se tem derivadas contínuas até a ordem . - É
se tem derivadas contínuas de todas as ordens (ou seja, infinitamente diferenciável).
Passo 3
Calcular as derivadas de
.
Para
temos componente a componente:
Derivando:
Esses são polinômios (funções polinomiais), portanto são
em todo
.
Passo 4
Substituir na fórmula da curvatura e simplificar.
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando o numerador e o denominador:
Observações imediatas:
- O numerador é constante
. - O denominador
é estritamente positivo para todo (pois ). Portanto está bem definida para todo . -
para todo (a parábola tem curvatura positiva com essa escolha de sinal absoluto).
Passo 5
Analisar a regularidade de
como função de
.
A expressão obtida é
Raciocínio sobre regularidade:
- A função
é polinomial, logo é em . - A função
é quando restrita ao conjunto . Como , a composição é em . - A divisão por uma função
que nunca se anula (aqui o denominador é sempre ) produz uma função .
Portantoé de classe em todo .
Além disso,
é limitada e tende a
quando
:
e atinge seu máximo em
, onde
.
Passo 6
Regularidade da curvatura em função do parâmetro de arco
.
Se quisermos ver a curvatura como função do comprimento de arco
(ou seja,
), procedemos assim:
- O comprimento de arco a partir de um parâmetro fixo
é dado por
- A derivada
para todo , logo é estritamente crescente e de classe . Assim, é localmente invertível e, por ser monotônica global, tem inversa global de classe (teorema da função inversa). - Compondo,
é composição de funções , logo também é em termos de .
Conclusão: tanto
quanto
são infinitamente diferenciáveis em todo o domínio relevante.
Resposta
A curvatura em função do parâmetro de arco