Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f = f(x, y, z) dada por:
f(x, y, z) = x^3 + y^3 - 3x - 3y - 3z + 4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar os máximos e mínimos locais da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde a gente analisa como a função se comporta em diferentes pontos cobrindo várias variáveis ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como identificar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada variável: , e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes.
Então, vamos calcular:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde todas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa encontrar valores de , e que satisfazem:
Vamos resolver cada equação:
  1. , então .
  2. , então .
  3. Porém, a última equação não tem solução!

Passo 4

A última equação nos diz que não existe nenhum valor de que faça a derivada parcial em relação a igual a zero. Isso significa que não existem pontos críticos para essa função.

Resposta

A função não possui pontos de máximo ou mínimo local.

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