Estude o sinal das funções abaixo:
f(x)=-x^{2}+6 x-4

Passo 1

O enunciado pede que se estude o sinal da função
f(x)=-x^{2}+6x-4.
Isto significa determinar, para quais valores de x:
  • f(x)>0 (a função é positiva),
  • f(x)=0 (raízes / zeros da função),
  • f(x)<0 (a função é negativa).
Informações dadas:
  • A função é um polinômio quadrático (grau 2) com coeficientes a=-1, b=6, c=-4.

Passo 2

Como vou proceder (explicando a teoria passo a passo, pra você usar na prova):
Para uma função quadrática geral f(x)=ax^{2}+bx+c com a\neq0:
  • O sinal da função depende das raízes reais (se existirem) e do sinal de a.
  • Calcula-se o discriminante \Delta definido por \Delta=b^{2}-4ac.
    • Se \Delta<0: não há raízes reais; então f(x) tem o mesmo sinal de a para todo x.
    • Se \Delta=0: há uma raiz real dupla x=-\dfrac{b}{2a}; f(x)=0 nesse ponto e tem o sinal de a em todos os outros pontos.
    • Se \Delta>0: existem duas raízes reais distintas x_{1}<x_{2} dadas pela fórmula quadrática x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.O comportamento do sinal é alternado em relação ao intervalo entre as raízes:
      • Se a>0 (parábola abre para cima): f(x)>0 para x<x_{1} e para x>x_{2}; f(x)<0 para x_{1}<x<x_{2}.
      • Se a<0 (parábola abre para baixo): o oposto: f(x)<0 para x<x_{1} e para x>x_{2}; f(x)>0 para x_{1}<x<x_{2}.
Observação prática: depois de encontrar as raízes, pode-se testar um ponto intermediário (por exemplo o ponto médio entre as raízes) para confirmar o sinal no intervalo central.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, identificamos os coeficientes:
a=-1,\qquad b=6,\qquad c=-4.
Calculemos o discriminante \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-4).
Agora as contas:
6^{2}=36,\qquad 4\cdot(-1)\cdot(-4)=4\cdot4=16,
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\Delta=36-16=20.
Como \Delta=20>0, a função tem duas raízes reais distintas.

Passo 4

Encontremos as raízes usando a fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{20}}{2\cdot(-1)}.
Simplificando \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}, temos
x=\frac{-6\pm 2\sqrt{5}}{-2}.
Dividindo numerador por -2:
x=3\mp\sqrt{5}.
Assim as duas raízes são
x_{1}=3-\sqrt{5},\qquad x_{2}=3+\sqrt{5},
com x_{1}<x_{2}.

Passo 5

Agora determinamos o sinal usando que a=-1<0 (parábola abre para baixo). Pelo esquema explicado antes, para a<0 a função é positiva entre as raízes e negativa fora delas. Verificação rápida: escolha x=3 (ponto entre as raízes); calcule
f(3)=-3^{2}+6\cdot3-4=-9+18-4=5>0,
confirmando que entre as raízes f(x)>0.
Portanto:
  • f(x)>0 quando 3-\sqrt{5}<x<3+\sqrt{5}.
  • f(x)=0 em x=3-\sqrt{5} e em x=3+\sqrt{5}.
  • f(x)<0 quando x<3-\sqrt{5} ou x>3+\sqrt{5}.
Opcional (fatoração): escrevendo a função em fatores reais,
f(x)=-\bigl(x-(3-\sqrt{5})\bigr)\bigl(x-(3+\sqrt{5})\bigr),
o que mostra diretamente o sinal conforme a posição de x relativa às raízes.

Resposta

f(x)>0 para 3-\sqrt{5}<x<3+\sqrt{5}
f(x)=0 para x=3-\sqrt{5} e x=3+\sqrt{5}
f(x)<0 para x<3-\sqrt{5} ou x>3+\sqrt{5}