Estude o sinal das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que se estude o sinal da função
.
Isto significa determinar, para quais valores de :
Isto significa determinar, para quais valores de
-
(a função é positiva), -
(raízes / zeros da função), -
(a função é negativa).
Informações dadas:
- A função é um polinômio quadrático (grau 2) com coeficientes
, , .
Passo 2
Como vou proceder (explicando a teoria passo a passo, pra você usar na prova):
Para uma função quadrática geral
com
:
- O sinal da função depende das raízes reais (se existirem) e do sinal de
. - Calcula-se o discriminante
definido por . - Se
: não há raízes reais; então tem o mesmo sinal de para todo . - Se
: há uma raiz real dupla ; nesse ponto e tem o sinal de em todos os outros pontos. - Se
: existem duas raízes reais distintas dadas pela fórmula quadrática O comportamento do sinal é alternado em relação ao intervalo entre as raízes: - Se
(parábola abre para cima): para e para ; para . - Se
(parábola abre para baixo): o oposto: para e para ; para .
- Se
- Se
Observação prática: depois de encontrar as raízes, pode-se testar um ponto intermediário (por exemplo o ponto médio entre as raízes) para confirmar o sinal no intervalo central.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, identificamos os coeficientes:
Calculemos o discriminante
:
Agora as contas:
logo
Como
, a função tem duas raízes reais distintas.
Passo 4
Encontremos as raízes usando a fórmula quadrática:
Simplificando
, temos
Dividindo numerador por
:
Assim as duas raízes são
com
.
Passo 5
Agora determinamos o sinal usando que
(parábola abre para baixo). Pelo esquema explicado antes, para
a função é positiva entre as raízes e negativa fora delas. Verificação rápida: escolha
(ponto entre as raízes); calcule
confirmando que entre as raízes
.
Portanto:
-
quando . -
em e em . -
quando ou .
Opcional (fatoração): escrevendo a função em fatores reais,
o que mostra diretamente o sinal conforme a posição de
relativa às raízes.