Estude a variação de sinal (f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0) das seguintes funções:
f(x)=\lfloor x\rfloor-3

Passo 1

O enunciado fornece a função f definida por
f(x)=\lfloor x\rfloor-3
e pede que eu estude a variação de sinal, isto é, determine os conjuntos de x em que f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0. As informações que temos explicitamente são apenas a expressão de f e a presença da função piso \lfloor x\rfloor.

Passo 2

Vamos entender bem o que é a função piso \lfloor x\rfloor. Definição e exemplos práticos:
  • Por definição, \lfloor x\rfloor é o maior número inteiro menor ou igual a x.
  • Isso implica que, para cada inteiro k,
\lfloor x\rfloor = k \quad\text{se, e somente se,}\quad x\in[k,k+1).
  • Exemplos para fixar a ideia:
    • \lfloor 2{,}3\rfloor = 2 porque 2{,}3\in[2,3).
    • \lfloor 3\rfloor = 3 porque 3\in[3,4) e é inteiro.
    • \lfloor -1{,}1\rfloor = -2 porque -1{,}1\in[-2,-1) (atenção com números negativos: o piso avança para baixo).
      Esses exemplos mostram que o eixo real se decompõe em intervalos disjuntos [k,k+1) onde o piso é constante igual a k.

Passo 3

Usando a propriedade anterior, se x\in[k,k+1) com k\in\mathbb{Z}, então
f(x)=\lfloor x\rfloor-3 = k-3.
Ou seja, dentro de cada intervalo [k,k+1) a função f é constante e igual a k-3. Portanto o sinal de f naquele intervalo depende apenas de k-3.

Passo 4

Agora analisamos o sinal de k-3 em função de k:
  • k-3>0 quando k>3.
  • k-3=0 quando k=3.
  • k-3<0 quando k<3.
Traduzindo isso para os intervalos [k,k+1):
  • Se k>3 (ou seja, k\ge 4 porque k é inteiro), então para todo x\in[k,k+1) tem-se f(x)>0.
  • Se k=3, então para todo x\in[3,4) tem-se f(x)=0.
  • Se k<3 (ou seja, k\le 2), então para todo x\in[k,k+1) tem-se f(x)<0.

Passo 5

Vamos reunir essas informações em intervalos da reta real:
  • A união de todos os intervalos [k,k+1) com k\le 2 é exatamente (-\infty,3). Logo, para todo x\in(-\infty,3) temos \lfloor x\rfloor\le 2 e portanto
f(x)<0 \quad\text{para todo } x\in(-\infty,3).
  • Para k=3 temos o intervalo [3,4), e aí
f(x)=0 \quad\text{para todo } x\in[3,4).
  • A união de todos os intervalos [k,k+1) com k\ge 4 é [4,\infty). Nesses pontos \lfloor x\rfloor\ge 4 e assim
f(x)>0 \quad\text{para todo } x\in[4,\infty).

Passo 6

Cheque rápido com alguns valores pontuais para ganhar confiança:
  • x=2{,}9\in(-\infty,3): \lfloor 2{,}9\rfloor=2 então f(2{,}9)=2-3=-1<0.
  • x=3{,}5\in[3,4): \lfloor 3{,}5\rfloor=3 então f(3{,}5)=3-3=0.
  • x=4\in[4,\infty): \lfloor 4\rfloor=4 então f(4)=4-3=1>0.
    Tudo bate com a classificação anterior.

Resposta

f(x)<0 para x\in(-\infty,3)
f(x)=0 para x\in[3,4)
f(x)>0 para x\in[4,\infty)