Estude a variação de sinal
e
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
e pede que eu estude a variação de sinal, isto é, determine os conjuntos de
em que
,
e
. As informações que temos explicitamente são apenas a expressão de
e a presença da função piso
.
Passo 2
Vamos entender bem o que é a função piso
. Definição e exemplos práticos:
- Por definição,
é o maior número inteiro menor ou igual a . - Isso implica que, para cada inteiro
,
- Exemplos para fixar a ideia:
-
porque . -
porque e é inteiro. -
porque (atenção com números negativos: o piso avança para baixo).
Esses exemplos mostram que o eixo real se decompõe em intervalos disjuntosonde o piso é constante igual a .
-
Passo 3
Usando a propriedade anterior, se
com
, então
Ou seja, dentro de cada intervalo
a função
é constante e igual a
. Portanto o sinal de
naquele intervalo depende apenas de
.
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
em função de
:
-
quando . -
quando . -
quando .
Traduzindo isso para os intervalos
:
- Se
(ou seja, porque é inteiro), então para todo tem-se . - Se
, então para todo tem-se . - Se
(ou seja, ), então para todo tem-se .
Passo 5
Vamos reunir essas informações em intervalos da reta real:
- A união de todos os intervalos
com é exatamente . Logo, para todo temos e portanto
- Para
temos o intervalo , e aí
- A união de todos os intervalos
com é . Nesses pontos e assim
Passo 6
Cheque rápido com alguns valores pontuais para ganhar confiança:
-
: então . -
: então . -
: então .
Tudo bate com a classificação anterior.