O estudo das descargas em gases começa com a compreensão dos processos elementares de ionização e deionização. Sobre esses fenômenos, julgue as afirmações a seguir como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) e justifique as falsas.
(d) O coeficiente de Townsend
representa o número médio de colisões ionizantes que um elétron sofre ao percorrer uma distância de 1 cm na direção do campo elétrico, sendo um parâmetro fundamental para o crescimento da avalanche eletrônica.
(d) O coeficiente de Townsend
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue a afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justifique se for falsa. A afirmação é:
“Ao coeficiente de Townsend
representa o número médio de colisões ionizantes que um elétron sofre ao percorrer uma distância de 1 cm na direção do campo elétrico, sendo um parâmetro fundamental para o crescimento da avalanche eletrônica.”
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A afirmação define
como um número médio de colisões ionizantes por 1 cm de percurso na direção do campo. - A afirmação diz que
é um parâmetro fundamental para o crescimento da avalanche eletrônica.
Passo 2
Definição precisa de
. Vou dar a definição formal e explicar cada termo, devagarinho.
A primeira constante de Townsend, chamada
, é definida como o número médio de colisões ionizantes produzidas por um elétron por unidade de distância medida ao longo da direção do campo elétrico. Em símbolos:
Explicando os termos:
-
é “médio” porque é um valor estatístico (há flutuações nos eventos reais). - “Colisões ionizantes” significa colisões que geram um elétron livre adicional e um íon positivo (ou seja, formam um par elétron-íon).
- “Por unidade de distância” quer dizer que
mede quantas ionizações, em média, ocorrem quando o elétron desloca-se por um comprimento unitário na direção do campo (se a unidade escolhida for 1 cm, então é o número médio por 1 cm).
Portanto, dizer “porcorre uma distância de 1 cm” é compatível com a definição, desde que se entenda que
já está na unidade por centímetro. Se a distância for
cm, o número médio de ionizações por elétron é
.
Passo 3
Como
entra na descrição do crescimento da avalanche — uma derivação curta e didática.
Se
é o número médio de elétrons em um feixe que já percorreu uma distância
começando com
elétrons, a variação média de
ao avançar um pequeno trecho
é dada por:
Explicando: cada um dos
elétrons produz, em média,
novos elétrons ao atravessar
. Isso dá a equação diferencial
Essa é uma equação diferencial de crescimento exponencial. Resolvendo por separação de variáveis:
Se
for aproximadamente constante no intervalo, obtemos
Interpretação física:
controla a taxa de multiplicação — quanto maior
, mais rápido o número de elétrons cresce com a distância. Por isso
é mesmo fundamental na avalanche.
Passo 4
Observações práticas e sutilezas importantes (para não cair em pegadinhas na prova).
-
Unidade e frase do enunciado: a frase “número médio de colisões ionizantes que um elétron sofre ao percorrer uma distância de 1 cm” é correta desde que se considere que
está em . Em geral, ao dizer significa que, em média, há ionizações por elétron para cada centímetro percorrido (logo em 1 cm = ionizações em média). -
O que
NÃO conta: conta apenas colisões ionizantes. Ele não conta colisões elásticas ou inelásticas que não ionizam, nem processos de captura (attachment) de elétrons por moléculas eletronegativas. -
Coeficiente de anexação e coeficiente efetivo: em gases que “capturam” elétrons existe um coeficiente de anexação
(número médio de elétrons perdidos por unidade de comprimento). A taxa líquida de crescimento é então . Logo, para avaliar se a avalanche cresce realmente deve-se considerar esse efeito. -
Dependência de
: depende fortemente do campo elétrico e da densidade do gás — tipicamente é uma função do campo reduzido (ou de , onde é pressão). Uma forma empírica usada em muitos textos é
onde
e
são constantes do gás e
é a pressão. O importante é entender que
aumenta muito quando o campo é forte (mais energia por colisão) e diminui com maior densidade (mais colisões, mas menos probabilidade de ionização por colisão se a energia média por colisão cair).
- Relação com critério de ruptura (Townsend breakdown): a condição para que ocorra descarga contínua entre eletrodos separados por distância
envolve também o coeficiente secundário (número médio de elétrons secundários liberados por íon/impacto na cátodo). A condição clássica de Townsend para ruptura é
Isto mostra matematicamente como
participa diretamente do critério de avalanche que leva à ruptura.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição (faça isso na prova se precisar de valor concreto). Se
e
, então após
teremos
ou seja, cerca de 148 elétrons — isso ilustra como um
moderado produz crescimento exponencial.
Passo 6
Resposta ao enunciado: comparar com a afirmação original e concluir se é correta sem ambiguidades.
A afirmação diz exatamente que
é o número médio de colisões ionizantes por elétron ao percorrer 1 cm na direção do campo e que é um parâmetro fundamental para o crescimento da avalanche. Isso é compatível com a definição formal e com o papel que
desempenha na equação de crescimento exponencial da avalanche. Apenas lembrar das sutilezas (unidade, que são apenas colisões ionizantes, e que há efeitos de anexação que podem reduzir o crescimento) — mas essas sutilezas não tornam a afirmação falsa, apenas a completam.
Resposta
V