Estudos mostram que, daqui a 
  anos, a população de certo país será 
  milhares de pessas e a renda bruta do país será 
  milhões de dólares, em que
 
a) Expresse a renda percapita do país 
  em função do tempo 
 . (cuidado com as unidades!)
b) O que acontecerá com a renda per capiat a longo prazo 
 
b) O que acontecerá com a renda per capiat a longo prazo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a população e a renda bruta de um país ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é funções matemáticas e análise de limites. Vamos precisar lidar com expressões algébricas e entender como as funções se comportam com o passar do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Expressar a renda per capita 
  em função do tempo 
 .
Para isso, precisamos das expressões de 
  e 
 :
- 
(milhares de pessoas)  - 
(milhões de dólares)  
Mas atenção às unidades! 
  está em milhares e 
  em milhões. Para calcular a renda per capita em dólares por pessoa, precisamos ajustar as unidades:
- Converter 
para pessoas: .  - Converter 
para dólares: .  
Então, a renda per capita será:
Portanto, substituindo 
  e 
 :
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Determinar o que acontece com a renda per capita quando 
  tende para o infinito (
 ).
Para isso, analisamos o comportamento de 
  conforme 
  aumenta muito.
Primeiro, observamos as funções:
- No numerador: 
. Quando é muito grande, os termos menores (como e ) são desprezados, então o numerador se aproxima de .  - No denominador: 
. Aqui, o termo domina quando é grande.  
Então, aproximando 
  para 
 :
Isso significa que, a longo prazo, a renda per capita tende a 15 mil dólares por pessoa.
Resposta
a) A renda per capita em função do tempo é 
  dólares por pessoa.
b) A renda per capita tende a 15 000 dólares por pessoa quando 
  vai para o infinito.