A evaporação anual de um lago com superficie (área do espelho d’água) de 15 \mathrm{km}^{2} é de 1.500 mm . Determinar a variação do nível do lago durante um ano se, nesse período, a precipitação foi de 950 mm , e a contribuição dos tributários foi de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Sabe-se, também, que, naquele ano, foi retirada do lago uma descarga média de 5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} para a irrigação de culturas e a manutenção da vazão ecológica, além de uma captação de 165 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{3} para refrigeração de uma unidade industrial (desprezar a variação da área do espelho d’água).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos (listadas claramente).
  • Pedido: determinar a variação do nível do lago durante um ano, isto é, a mudança na altura da coluna de água \Delta h (positiva se sobe, negativa se baixa).
  • Dados fornecidos:
    • Área do espelho d’água: A=15\\ \mathrm{km}^{2}.
    • Evaporação anual: E=1500\\ \mathrm{mm} (profundidade evaporada ao longo do ano).
    • Precipitação anual: P=950\\ \mathrm{mm} (profundidade precipitada sobre o lago no ano).
    • Contribuição dos tributários (vazão afluente constante): Q_{\text{in}}=10\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Retirada contínua para irrigação e manutenção: Q_{\text{out}}=5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Captação pontual anual para a indústria: V_{\text{ind}}=165\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Desprezar a variação da área do espelho d’água (ou seja, A constante).
  • Observações de unidade que vamos usar (convertendo tudo para metros e metros cúbicos):
    • 1\\ \mathrm{km^{2}}=10^{6}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • Um ano tem T=365\cdot24\cdot3600=31\,536\,000\\ \mathrm{s} (assumimos ano de 365 dias).

Passo 2

Plano de resolução (fórmula geral do balanço hídrico e como obter \Delta h).
  • Modelamos o balanço de volumes no lago ao longo do ano: volume final = volume inicial + entradas - saídas.
  • Definimos o volume neto ganho no lago durante o ano como
\Delta V = V_{\text{precip}} + V_{\text{tributários}} - V_{\text{evap}} - V_{\text{retiradas contínuas}} - V_{\text{ind}}.áí
  • A variação de nível \Delta h (assumindo área constante) relaciona-se com o volume pela fórmula
\Delta h = \frac{\Delta V}{A}.
  • Em seguida calculamos cada termo de volume em metros cúbicos usando as conversões.

Passo 3

Converter área e profundidades para unidades SI (metros e metros quadrados).
  • Área:
A = 15\\ \mathrm{km^{2}} = 15\times10^{6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Evaporação em metros:
E = 1500\\ \mathrm{mm} = 1500\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Precipitação em metros:
P = 950\\ \mathrm{mm} = 950\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0{,}95\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular os volumes associados à precipitação e à evaporação sobre a área do lago.
  • Volume de precipitação no lago durante o ano:
V_{\text{precip}} = A\cdot P = 15\times10^{6}\\ \mathrm{m^{2}}\times 0{,}95\\ \mathrm{m} = 14{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume evaporado do lago durante o ano:
V_{\text{evap}} = A\cdot E = 15\times10^{6}\\ \mathrm{m^{2}}\times 1{,}5\\ \mathrm{m} = 22{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Calcular os volumes relacionados às vazões contínuas dos tributários e das retiradas, usando tempo do ano.
  • Tempo do ano (já definido):
T = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
  • Volume total aportado pelos tributários no ano:
V_{\text{tributários}} = Q_{\text{in}}\cdot T = 10\\ \mathrm{m^{3}/s}\times 31\,536\,000\\ \mathrm{s} = 315{,}360{,}000\\ \mathrm{m^{3}} = 315{,}36\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}.á
  • Volume total retirado continuamente para irrigação/manutenção no ano:
V_{\text{ret cont}} = Q_{\text{out}}\cdot T = 5\\ \mathrm{m^{3}/s}\times 31\,536\,000\\ \mathrm{s} = 157{,}680{,}000\\ \mathrm{m^{3}} = 157{,}68\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Listar novamente todos os volumes em milhões de metros cúbicos para facilitar soma e subtração.
  • V_{\text{precip}} = 14{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}} (ou 14{,}25 milhões).
  • V_{\text{evap}} = 22{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}} (ou 22{,}5 milhões).
  • V_{\text{tributários}} = 315{,}36\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}á (ou 315{,}36 milhões).
  • V_{\text{ret cont}} = 157{,}68\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}} (ou 157{,}68 milhões).
  • V_{\text{ind}} = 165\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}} (ou 165 milhões).

Passo 7

Calcular o volume líquido \Delta V no ano usando a equação do balanço.
  • Aplicando
\Delta V = V_{\text{precip}} + V_{\text{tributários}} - V_{\text{evap}} - V_{\text{ret cont}} - V_{\text{ind}},á
substituindo os valores (em \times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}):
\Delta V = 14{,}25 + 315{,}36 - 22{,}5 - 157{,}68 - 165.
  • Fazer as somas/subtrações passo a passo:
    • Entradas totais: 14{,}25 + 315{,}36 = 329{,}61 (milhões).
    • Saídas totais: 22{,}5 + 157{,}68 + 165 = 345{,}18 (milhões).
    • Logo
\Delta V = 329{,}61 - 345{,}18 = -15{,}57\\ \times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Interpretação: \Delta V<0 significa que o lago perdeu volume ao longo do ano; o déficit foi de 15{,}57\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 8

Calcular a variação do nível \Delta h dividindo o volume líquido pela área e interpretar o resultado.
  • Usando
\Delta h = \frac{\Delta V}{A},
substituímos \Delta V=-15{,}57\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}} e A=15\times10^{6}\\ \mathrm{m^{2}}:
\Delta h = \frac{-15{,}57\times10^{6}}{15\times10^{6}}\\ \mathrm{m} = -1{,}038\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação prática: o nível do lago caiu aproximadamente 1{,}038\\ \mathrm{m} durante o ano. Em termos mais usuais, isso é uma queda de cerca de 1038\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\Delta h = -1{,}038\\ \mathrm{m}

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