Ex. 9. Explique minuciosamente o que é estado de tensões principais? Qual sua importância em um problema da mecânica estrutural?
Passo 1
O enunciado pergunta o que é o estado de tensões principais e por que isso importa em mecânica estrutural. O conteúdo envolve análise de tensões em um ponto de um sólido, caracterização por meio do tensor de tensões e cálculo dos autovalores (tensões principais). Vamos precisar saber o que é o tensor de tensões, como resolver sua equação característica e entender o significado físico das direções principais de tensão.
Passo 2
Em um ponto de um corpo submetido a carregamento, o estado de tensões é descrito por um tensor simétrico de segunda ordem
Cada componente sigmaij representa a tensão normal ou de cisalhamento na face normal à direção i atuando na direção j.
Passo 3
As tensões principais sigma1,sigma2,sigma3 são os autovalores do tensor sigma. Para encontrá-las, montamos a equação característica
As raízes sigmap=sigma1,sigma2,sigma3 são reais e distintas (ou repetidas) e correspondem às tensões normais em planos onde não há componente de cisalhamento. Esses planos são chamados de planos principais.
Passo 4
Fisicamente, nas direções principais não existe cisalhamento local, apenas tensão normal máxima ou mínima. Isso simplifica muito a análise de falhas:
Critérios de falha (por ex. von Mises, Tresca) usam tensões principais para avaliar ruptura.
Representação em Círculo de Mohr fica mais direta, pois o círculo passa pelos pontos (sigma1,0), (sigma2,0), etc.
Em projeto estrutural, saber sigmamax=maxsigmai é essencial para comparar com resistência do material e garantir segurança.
Resposta
O estado de tensões principais num ponto é dado pelas três tensões normais sigma1,sigma2,sigma3, que são os autovalores do tensor de tensões e ocorrem em planos onde o cisalhamento é nulo. Sua importância está em permitir avaliar diretamente as condições críticas de ruptura e deformação do material, simplificar gráficos de Mohr e aplicar com precisão os critérios de falha em projetos estruturais.