Questão 03 (2.5 pontos)

Uma partícula descreve uma trajetória parabólica, segundo a equação y=a cdot x^2. Se a aceleração da partícula na direção x é ax, constante, qual será a distância percorrida pela partícula, em função do tempo, quando ela partir de (x, y)=(0,0) ?

Passo 1

O enunciado diz que a partícula se move de modo que
y = a,x^2
e que sua aceleração na direção x é constante e igual a ax. Parte de (0,0). Queremos a distância percorrida s(t) até o instante t. Para isso, vamos:
  1. achar x(t) e y(t),
  2. calcular as velocidades dot x e dot y,
  3. montar a integral de arco de curva
s(t)=integral0^traizdot x^2+dot y^2,dt',
  1. resolver essa integral.

Passo 2

Como a aceleração em x é constante, temos
x(t)=tfrac12,ax,t^2,
com x(0)=0. Então
y(t)=a,[x(t)]^2 =al(tfrac12,ax,t^2r)^2 =a,ax^24;t^4

Passo 3

As componentes da velocidade são
dot x(t)=ax,t, dot y(t) =a,ax^24cdot4,t^3 =a,ax^2,t^3
Logo a velocidade escalar é
v(t) =raizdot x^2+dot y^2 =raiz(ax,t)^2+l(a,ax^2,t^3r)^2 =ax,t;raiz1+l(a,ax,t^2r)^2

Passo 4

A distância s(t) é
s(t) =integral0^t v(t'),dt' =integral0^t ax,t',raiz1+l(a,ax,t'^2r)^2;dt'
Para simplificar, defina
b = a,ax,
ficando
s(t)=axintegral0^t t',raiz1+(b,t'^2)^2;dt'

Passo 5

Faça a substituição
u = b,t'^2, du = 2,b,t',dt' ;Longrightarrow; t',dt'=du2b
Então
integral t'raiz1+(b,t'^2)^2,dt' =12bintegralraiz1+u^2,du =12b,l[tfracu2raiz1+u^2+tfrac12lnl(u+raiz1+u^2r)r]+C
Voltando a t (ou seja, u=b,t^2) e multiplicando por ax, obtemos
s(t) =ax4bl[b,t^2raiz1+b^2t^4 +lnl(b,t^2+raiz1+b^2t^4r)r]

Passo 6

Como b=a,ax, temos tfracax4b=tfrac14a. Assim a forma final é
boxed s(t) =14al[ a,ax,t^2raiz1+(a,ax)^2,t^4 +lnl(a,ax,t^2+raiz1+(a,ax)^2,t^4r) r]

Resposta

s(t) =14al[ a,ax,t^2raiz1+(a,ax)^2,t^4 +lnl(a,ax,t^2+raiz1+(a,ax)^2,t^4r) r]

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