Um exame de laboratório tem eficiência de 97% para detectar uma doença quando ela de fato existe. Além disso, o teste aponta um resultado falso positivo para 1,5% das pessoas sadias testadas. Se 0,4% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso, tenha a doença, sabendo que o seu exame foi positivo?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um teste de laboratório que detecta uma doença com 97% de eficiência quando a pessoa realmente está doente. Além disso, o teste pode dar um resultado falso positivo em 1,5% das pessoas saudáveis. Sabemos que 0,4% da população tem a doença. Queremos descobrir qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter a doença, sabendo que o exame deu positivo.
Aqui, vamos usar Teoria das Probabilidades e especificamente o Teorema de Bayes para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades conhecidas:
- Sensibilidade do teste (P(Positivo|Doente)): 97% ou 0,97. Isso significa que, se a pessoa está doente, há 97% de chance do teste dar positivo.
- Taxa de falso positivo (P(Positivo|Sadio)): 1,5% ou 0,015. Isso significa que, se a pessoa está saudável, há 1,5% de chance do teste dar positivo.
- Prevalência da doença (P(Doente)): 0,4% ou 0,004. Isto é, 0,4% da população tem a doença.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o teste deu positivo, ou seja, P(Doente|Positivo). Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que é dado por:
Passo 4
Precisamos calcular P(Positivo), a probabilidade do teste dar positivo para qualquer pessoa. Isso inclui pessoas doentes e saudáveis. Podemos calcular assim:
Sabemos que P(Sadio) = 1 - P(Doente) = 1 - 0,004 = 0,996.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula de P(Positivo):
Passo 6
Agora, vamos voltar à fórmula do Teorema de Bayes e substituir os valores:
Resposta
A probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso esteja com a doença, sabendo que o exame foi positivo, é de aproximadamente 20,65%.