Example 4.14
Determine the Moment of Inertia of a triangular area
having base
and height
about its base
. Hence or otherwise determine the Moment of Inertia about centroidal axis parallel to the base.
Determine the Moment of Inertia of a triangular area
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar o Momento de Inércia do triângulo
(base
e altura
) relativamente à sua base
(ou seja, eixo paralelo à base passando pela própria base); (ii) a seguir, determinar o Momento de Inércia relativamente ao eixo que passa pelo centróide e é paralelo à base.
Informações dadas e utilidade imediata:
Informações dadas e utilidade imediata:
- Base:
. - Altura (distância do vértice oposto à base até a base):
. - Área do triângulo (útil para o teorema dos eixos paralelos): vamos usar que a área é
.
A partir daqui começamos a construir a solução passo a passo.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente para integrar: colocamos a base
ao longo do eixo
em
e o vértice
acima da base, em altura
, com o triângulo simétrico em relação ao eixo vertical
. Assim, para uma fatia horizontal à altura
(medida a partir da base), a largura do triângulo nessa altura é proporcional a
. Especificamente a largura é
pois em
a largura é
e em
a largura é
(relação linear — similaridade de triângulos).
Passo 3
Tomamos uma fita (strip) horizontal de espessura infinitesimal
à altura
. A área elemental dessa fita é
O elemento de Momento de Inércia (relativo a um eixo paralelo à base passando por
) para essa fita é
. Logo o Momento de Inércia total relativamente à base
é
Passo 4
Calculamos a integral explícita. Primeiro expandimos:
Agora as integrais básicas:
Substituindo:
Passo 5
Resumo parcial: o Momento de Inércia do triângulo relativo à sua base
é
Antes de passar ao eixo pelo centróide, vamos precisar da posição do centróide (distância perpendicular da base até o centróide).
Passo 6
Calculamos a coordenada do centróide na direção
(distância do centróide à base), usando a definição
com
e
. Assim
Portanto o centróide fica a
acima da base.
Passo 7
Usamos agora o Teorema dos Eixos Paralelos (também chamado Teorema de Steiner): se
é o momento em torno do eixo que passa pelo centróide e é paralelo ao eixo base, então
Rearranjando,
Substituímos
,
e
.
Passo 8
Fazendo as contas:
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