Example 4.14
Determine the Moment of Inertia of a triangular area A B C having base b and height d about its base \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}. Hence or otherwise determine the Moment of Inertia about centroidal axis parallel to the base.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar o Momento de Inércia do triângulo A B C (base b e altura d) relativamente à sua base \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} (ou seja, eixo paralelo à base passando pela própria base); (ii) a seguir, determinar o Momento de Inércia relativamente ao eixo que passa pelo centróide e é paralelo à base.
Informações dadas e utilidade imediata:
  • Base: b.
  • Altura (distância do vértice oposto à base até a base): d.
  • Área do triângulo (útil para o teorema dos eixos paralelos): vamos usar que a área é \displaystyle A=\frac{1}{2}bd.
    A partir daqui começamos a construir a solução passo a passo.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente para integrar: colocamos a base \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} ao longo do eixo x em y=0 e o vértice A acima da base, em altura y=d, com o triângulo simétrico em relação ao eixo vertical x=0. Assim, para uma fatia horizontal à altura y (medida a partir da base), a largura do triângulo nessa altura é proporcional a 1-\tfrac{y}{d}. Especificamente a largura é
\text{largura}(y)=b\left(1-\frac{y}{d}\right),
pois em y=0 a largura é b e em y=d a largura é 0 (relação linear — similaridade de triângulos).

Passo 3

Tomamos uma fita (strip) horizontal de espessura infinitesimal \,dy à altura y. A área elemental dessa fita é
dA=\text{largura}(y)\,dy = b\left(1-\frac{y}{d}\right)dy.
O elemento de Momento de Inércia (relativo a um eixo paralelo à base passando por y=0) para essa fita é y^{2}dA. Logo o Momento de Inércia total relativamente à base \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} é
I_{BC}=\int_{0}^{d} y^{2}\,dA = \int_{0}^{d} y^{2}\,b\left(1-\frac{y}{d}\right)dy.

Passo 4

Calculamos a integral explícita. Primeiro expandimos:
I_{BC}=b\int_{0}^{d}\left(y^{2}-\frac{y^{3}}{d}\right)dy = b\left(\int_{0}^{d}y^{2}dy - \frac{1}{d}\int_{0}^{d}y^{3}dy\right).
Agora as integrais básicas:
\int_{0}^{d}y^{2}dy=\frac{d^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{d}y^{3}dy=\frac{d^{4}}{4}.
Substituindo:
I_{BC}=b\left(\frac{d^{3}}{3}-\frac{1}{d}\cdot\frac{d^{4}}{4}\right) = b\left(\frac{d^{3}}{3}-\frac{d^{3}}{4}\right) = b d^{3}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) = \frac{b d^{3}}{12}.

Passo 5

Resumo parcial: o Momento de Inércia do triângulo relativo à sua base \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} é
I_{BC}=\frac{b d^{3}}{12}.
Antes de passar ao eixo pelo centróide, vamos precisar da posição do centróide (distância perpendicular da base até o centróide).

Passo 6

Calculamos a coordenada do centróide na direção y (distância do centróide à base), usando a definição
\bar{y}=\frac{1}{A}\int y\,dA,
com dA=b\left(1-\tfrac{y}{d}\right)dy e A=\tfrac{1}{2}bd. Assim
\bar{y}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}bd}\; b\int_{0}^{d}\left(y-\frac{y^{2}}{d}\right)dy =\frac{2}{d}\left(\frac{d^{2}}{2}-\frac{d^{3}}{3d}\right) =\frac{2}{d}\left(\frac{d^{2}}{2}-\frac{d^{2}}{3}\right) =\frac{2}{d}\cdot\frac{d^{2}}{6} =\frac{d}{3}.
Portanto o centróide fica a \displaystyle \bar{y}=\frac{d}{3} acima da base.

Passo 7

Usamos agora o Teorema dos Eixos Paralelos (também chamado Teorema de Steiner): se I_{G} é o momento em torno do eixo que passa pelo centróide e é paralelo ao eixo base, então
I_{BC}=I_{G}+A\bar{y}^{2}.
Rearranjando,
I_{G}=I_{BC}-A\bar{y}^{2}.
Substituímos I_{BC}=\dfrac{b d^{3}}{12}, A=\dfrac{1}{2}bd e \bar{y}=\dfrac{d}{3}.

Passo 8

Fazendo as contas:
A\bar{y}^{2}=\frac{1}{2}bd\left(\frac{d}{3}\right)^{2}=\frac{1}{2}bd\cdot\frac{d^{2}}{9}=\frac{b d^{3}}{18}.
Logo
I_{G}=\frac{b d^{3}}{12}-\frac{b d^{3}}{18} = b d^{3}\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{18}\right) = b d^{3}\left(\frac{3-2}{36}\right) = \frac{b d^{3}}{36}.

Resposta

I_{BC}=\dfrac{b d^{3}}{12}
I_{\text{centróide (paralelo à base)}}=\dfrac{b d^{3}}{36}óà

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