Um exaustor é acionado diretamente por um MIT de 5 \mathrm{cv}, 4 polos, 220 V , com \mathrm{Ip} / \mathrm{In}=6. A inércia do motor é de 0,01 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} e a do exaustor é de 0,1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}. O torque exigido pelo exaustor é o nominal do motor ( 20 \mathrm{~N} . \mathrm{m} ) à rotação nominal \mathrm{n}_{\mathrm{n}}=1715 \mathrm{rpm}. A curva de torque do motor é caracterizada pelos pontos: \mathrm{Cp} / \mathrm{Cn}=2,9, \mathrm{Cmax} / \mathrm{Cn}=3,1 em n=90 \% de n_{n} e \operatorname{Cmin} / \mathrm{Cn}=2 em 30 \% de n_{n}. Determine numercamente o tempo de partida, assumindo uma linearização nas curvas de torque do motor e da carga, considerando os intervalos 0-0,3, 0,3-0,9, 0,9-1.
Passo 1
O enunciado pede o tempo de partida (tempo necessário para o conjunto motor+exaustor acelerar desde repouso até a rotação nominal) usando uma linearização por trechos das curvas de torque do motor e da carga nos intervalos de rotação normalizada x=n/n_n: 0-0{,}3, 0{,}3-0{,}9 e 0{,}9-1.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Potência do motor: }5\\ \text{cv (não usada diretamente)}\\\ &\text{Número de polos: }4\\ (\text{nenhum dado adicional necessário})\\\ &\text{Tensão: }220\\ \mathrm{V}\\ (\text{não usada nos cálculos de torque/inércia})\\\ &\mathrm{I_p}/\mathrm{I_n}=6\\ (\text{corrente de partida, não utilizada no tempo diretamente})\\\ &J_{\text{motor}}=0{,}01\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\\\ &J_{\text{exaustor}}=0{,}1\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\\\ &J_{\text{total}}=J_{\text{motor}}+J_{\text{exaustor}}=0{,}11\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\\\ &\text{Torque nominal do motor: }C_n=20\\ \mathrm{N\cdot m}\\ (\text{também torque da carga à }n_n)\\\ &n_n=1715\\ \mathrm{rpm}\\ (\text{rotação nominal})\\\ &\text{Pontos da curva do motor (normalizados por }C_n\text{):}\\\ &\quad C_p/C_n = 2{,}9 \quad(\text{aqui tomo }C(0)=2{,}9\,C_n)\\\ &\quad C_{\min}/C_n = 2 \\ \text{em } x=0{,}3\\\ &\quad C_{\max}/C_n = 3{,}1 \\ \text{em } x=0{,}9\\\ &\quad C(1)=C_n\\\ &\text{Curva da carga (exaustor): torque é nominal }20\\ \mathrm{N\cdot m}\text{ a }x=1.\\\ &\text{Para exaustores/ventiladores: }C_{\text{load}}\propto n^2\\ \Rightarrow\\ C_{\text{load}}(x)=C_n\,x^2. \end{aligned}
Observações importantes que usamos na solução:
Vamos linearizar a curva do motor por trechos entre os pontos x=0,\;0{,}3,\;0{,}9,\;1 (conforme pedido).
Também vamos linearizar a curva da carga no mesmo conjunto de trechos, aproximando x^2 por uma reta em cada trecho.
Equação de movimento rotacional que vamos usar: \displaystyle J_{\text{total}}\frac{d\omega}{dt}=C_m(\omega)-C_{\text{load}}(\omega).
Relação entre velocidade de rotação em rpm e velocidade angular: \displaystyle \omega = 2\pi\frac{n}{60}. Definimos x=\dfrac{n}{n_n}, então \omega = x\,\omega_n com \displaystyle \omega_n=2\pi\frac{n_n}{60}.
Como ambos f e x^2 serão aproximados por retas no trecho, o integrando será da forma 1/(A x + B) e a integral é logarítmica (ou linear se A=0). Vou agora construir as retas em cada trecho.
Passo 3
Trecho 1: x\in[0,\,0{,}3].
Curva do motor (valores normalizados f):
em x=0: f(0)=2{,}9.
em x=0{,}3: f(0{,}3)=2.
A reta linear que passa por esses pontos é
f_1(x)=a_{m1} x + b_{m1},\quad a_{m1}=\frac{2-2{,}9}{0{,}3-0}=-3,\quad b_{m1}=2{,}9.
Comentário didático: o sinal negativo no denominador é cancelado pelo ln(<1) negativo; o resultado é tempo positivo. Esse trecho é rápido porque o torque líquido inicial é grande.
Explicação: neste trecho a diferença de torque ainda é positiva e a velocidade cresce mais devagar que no primeiro trecho, resultando em tempo maior mas ainda pequeno.
Mas a integral \displaystyle\int_{0{,}9}^{1}\frac{dx}{1-x}=-\ln(1-x)\Big|_{0{,}9}^{1}=\ln\!\left(\frac{1-0{,}9}{1-1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}1}{0}\right) diverge para +\infty porque 1-x\to 0 quando x\to 1.
Interpretação física e matemática: como no ponto final x=1 (rotação nominal) as curvas de motor e carga coincidem (C_m=C_{\text{load}}), o torque líquido tende a zero quando x\to 1. Isso produz uma aceleração que tende a zero e faz com que o tempo necessário para atingir exatamente x=1 seja matematicamente infinito (o sistema se aproxima assintoticamente da velocidade nominal). Portanto a integral no trecho 0{,}9-1 diverge.
Passo 6
Conclusão numérica do tempo total de partida conforme as aproximações pedidas:
Tempo no trecho 0 a 0{,}3: t_1\approx 0{,}125\\ \mathrm{s}.
Tempo no trecho 0{,}3 a 0{,}9: t_2\approx 0{,}284\\ \mathrm{s}.
Tempo no trecho 0{,}9 a 1: t_3=\infty (diverge).
Soma: t_{\text{total}}=t_1+t_2+t_3= valor finito + infinito =\infty.
Interpretação prática: o resultado matemático é que o tempo para atingir exatamente a rotação nominal é infinito. Em engenharia, usa-se um critério prático (por exemplo atingir 99\% ou 99{,}9\% de n_n) para obter um tempo finito. Se quiser, eu calculo também o tempo até 99\% ou 99{,}9\% do nominal; mas isso precisaria que eu prossiga integrando o trecho final até x=0{,}99 (ou outro valor) — posso fazer já se desejar.