Um exaustor é acionado diretamente por um MIT de 5 \mathrm{cv}, 4 polos, 220 V , com \mathrm{Ip} / \mathrm{In}=6. A inércia do motor é de 0,01 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} e a do exaustor é de 0,1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}. O torque exigido pelo exaustor é o nominal do motor ( 20 \mathrm{~N} . \mathrm{m} ) à rotação nominal \mathrm{n}_{\mathrm{n}}=1715 \mathrm{rpm}. A curva de torque do motor é caracterizada pelos pontos: \mathrm{Cp} / \mathrm{Cn}=2,9, \mathrm{Cmax} / \mathrm{Cn}=3,1 em n=90 \% de n_{n} e \operatorname{Cmin} / \mathrm{Cn}=2 em 30 \% de n_{n}. Determine numercamente o tempo de partida, assumindo uma linearização nas curvas de torque do motor e da carga, considerando os intervalos 0-0,3, 0,3-0,9, 0,9-1.

Passo 1

O enunciado pede o tempo de partida (tempo necessário para o conjunto motor+exaustor acelerar desde repouso até a rotação nominal) usando uma linearização por trechos das curvas de torque do motor e da carga nos intervalos de rotação normalizada x=n/n_n: 0-0{,}3, 0{,}3-0{,}9 e 0{,}9-1.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Potência do motor: }5\\ \text{cv (não usada diretamente)}\\\ &\text{Número de polos: }4\\ (\text{nenhum dado adicional necessário})\\\ &\text{Tensão: }220\\ \mathrm{V}\\ (\text{não usada nos cálculos de torque/inércia})\\\ &\mathrm{I_p}/\mathrm{I_n}=6\\ (\text{corrente de partida, não utilizada no tempo diretamente})\\\ &J_{\text{motor}}=0{,}01\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\\\ &J_{\text{exaustor}}=0{,}1\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\\\ &J_{\text{total}}=J_{\text{motor}}+J_{\text{exaustor}}=0{,}11\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\\\ &\text{Torque nominal do motor: }C_n=20\\ \mathrm{N\cdot m}\\ (\text{também torque da carga à }n_n)\\\ &n_n=1715\\ \mathrm{rpm}\\ (\text{rotação nominal})\\\ &\text{Pontos da curva do motor (normalizados por }C_n\text{):}\\\ &\quad C_p/C_n = 2{,}9 \quad(\text{aqui tomo }C(0)=2{,}9\,C_n)\\\ &\quad C_{\min}/C_n = 2 \\ \text{em } x=0{,}3\\\ &\quad C_{\max}/C_n = 3{,}1 \\ \text{em } x=0{,}9\\\ &\quad C(1)=C_n\\\ &\text{Curva da carga (exaustor): torque é nominal }20\\ \mathrm{N\cdot m}\text{ a }x=1.\\\ &\text{Para exaustores/ventiladores: }C_{\text{load}}\propto n^2\\ \Rightarrow\\ C_{\text{load}}(x)=C_n\,x^2. \end{aligned}êãúáããáéãéàçãé
Observações importantes que usamos na solução:
  • Vamos linearizar a curva do motor por trechos entre os pontos x=0,\;0{,}3,\;0{,}9,\;1 (conforme pedido).
  • Também vamos linearizar a curva da carga no mesmo conjunto de trechos, aproximando x^2 por uma reta em cada trecho.
  • Equação de movimento rotacional que vamos usar: \displaystyle J_{\text{total}}\frac{d\omega}{dt}=C_m(\omega)-C_{\text{load}}(\omega).
  • Relação entre velocidade de rotação em rpm e velocidade angular: \displaystyle \omega = 2\pi\frac{n}{60}. Definimos x=\dfrac{n}{n_n}, então \omega = x\,\omega_n com \displaystyle \omega_n=2\pi\frac{n_n}{60}.
A resolução numérica começa no próximo passo.

Passo 2

Transformações iniciais e constantes numéricas:
Calculamos \omega_n:
\omega_n = 2\pi\frac{1715}{60}\approx 179{,}594380\\ \mathrm{rad/s}.
Inércia total:
J_{\text{total}}=0{,}11\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Para simplificar a integração em x (normalizada), escrevemos a equação do tempo diferencial como
dt = \dfrac{J_{\text{total}}\,d\omega}{C_m - C_{\text{load}}} = \dfrac{J_{\text{total}}\,\omega_n\,dx}{C_m(x)-C_{\text{load}}(x)}.
Como C_n=20\\ \mathrm{N\cdot m} e C_{\text{load}}(x)=20\,x^2, podemos fatorar:
C_m(x)-C_{\text{load}}(x)=20\big(f(x)-x^2\big),
onde f(x)=C_m(x)/C_n é a função adimensional do motor (valores dados nas amostras e que vamos linearizar por trechos). Definimos a constante
K=\dfrac{J_{\text{total}}\,\omega_n}{20}.
Calculando numericamente:
K=\dfrac{0{,}11\times 179{,}594380}{20}\approx 0{,}9877691\\ \text{s}.
Portanto, para cada trecho a integrar teremos
t_{\text{trecho}} = K\int_{x_1}^{x_2}\dfrac{dx}{f_{\text{lin}}(x)-x^2_{\text{lin}}}.
Como ambos f e x^2 serão aproximados por retas no trecho, o integrando será da forma 1/(A x + B) e a integral é logarítmica (ou linear se A=0). Vou agora construir as retas em cada trecho.

Passo 3

Trecho 1: x\in[0,\,0{,}3].
Curva do motor (valores normalizados f):
  • em x=0: f(0)=2{,}9.
  • em x=0{,}3: f(0{,}3)=2.
A reta linear que passa por esses pontos é
f_1(x)=a_{m1} x + b_{m1},\quad a_{m1}=\frac{2-2{,}9}{0{,}3-0}=-3,\quad b_{m1}=2{,}9.
Logo
f_1(x)=-3x+2{,}9.
Curva da carga x^2 nos extremos:
  • x^2(0)=0, x^2(0{,}3)=0{,}09.
    A reta aproximante é
x^2_{\text{lin},1}=a_{\ell1}x+b_{\ell1},\quad a_{\ell1}=\frac{0{,}09-0}{0{,}3-0}=0{,}3,\quad b_{\ell1}=0.
Então
x^2_{\text{lin},1}=0{,}3x.
Diferença adimensional no trecho:
f_1(x)-x^2_{\text{lin},1}=(-3-0{,}3)x+(2{,}9-0)= -3{,}3x+2{,}9.
Denotando A_1=-3{,}3, B_1=2{,}9, temos
t_1 = K\int_{0}^{0{,}3}\frac{dx}{A_1 x + B_1} = \frac{K}{A_1}\ln\!\left(\frac{A_1 x + B_1}{B_1}\right)\Bigg|_{0}^{0{,}3}.
Cálculo numérico:
A_1 x_2 + B_1 = -3{,}3(0{,}3)+2{,}9 = 1{,}91,\quad B_1=2{,}9.
t_1 = \frac{0{,}9877691}{-3{,}3}\ln\!\left(\frac{1{,}91}{2{,}9}\right) \approx 0{,}9877691\cdot\frac{-0{,}417851}{-3{,}3} \approx 0{,}125\\ \text{s}.
Comentário didático: o sinal negativo no denominador é cancelado pelo ln(<1) negativo; o resultado é tempo positivo. Esse trecho é rápido porque o torque líquido inicial é grande.

Passo 4

Trecho 2: x\in[0{,}3,\,0{,}9].
Curva do motor (linear entre x=0{,}3 e x=0{,}9):
  • f(0{,}3)=2, f(0{,}9)=3{,}1.
a_{m2}=\frac{3{,}1-2}{0{,}9-0{,}3}=\frac{1{,}1}{0{,}6}=1{,}8333333,\quad b_{m2}=f(0{,}3)-a_{m2}\cdot 0{,}3=2-0{,}55=1{,}45.
Logo
f_2(x)=1{,}8333333\,x+1{,}45.
Carga x^2 linearizada entre x=0{,}3 e 0{,}9:
  • x^2(0{,}3)=0{,}09, x^2(0{,}9)=0{,}81.
a_{\ell2}=\frac{0{,}81-0{,}09}{0{,}9-0{,}3}=\frac{0{,}72}{0{,}6}=1{,}2,\quad b_{\ell2}=0{,}09-1{,}2\cdot 0{,}3=0{,}09-0{,}36=-0{,}27.
Então
x^2_{\text{lin},2}=1{,}2x-0{,}27.
Diferença adimensional:
f_2(x)-x^2_{\text{lin},2}=(1{,}8333333-1{,}2)x+(1{,}45-(-0{,}27)) =0{,}6333333\,x+1{,}72.
Denotando A_2=0{,}6333333, B_2=1{,}72, temos
t_2 = K\int_{0{,}3}^{0{,}9}\frac{dx}{A_2 x + B_2} = \frac{K}{A_2}\ln\!\left(\frac{A_2 x + B_2}{A_2 x_1 + B_2}\right)\Bigg|_{0{,}3}^{0{,}9}.
Cálculo numérico:
A_2 x_1 + B_2 = 0{,}6333333\cdot 0{,}3 + 1{,}72 = 1{,}91, \quad A_2 x_2 + B_2 = 0{,}6333333\cdot 0{,}9 + 1{,}72 = 2{,}29.
t_2 = \frac{0{,}9877691}{0{,}6333333}\ln\!\left(\frac{2{,}29}{1{,}91}\right) \approx 1{,}55976\cdot 0{,}181896 \approx 0{,}284\\ \text{s}.
Explicação: neste trecho a diferença de torque ainda é positiva e a velocidade cresce mais devagar que no primeiro trecho, resultando em tempo maior mas ainda pequeno.

Passo 5

Trecho 3: x\in[0{,}9,\,1].
Curva do motor (linear entre x=0{,}9 e x=1):
  • f(0{,}9)=3{,}1, f(1)=1.
a_{m3}=\frac{1-3{,}1}{1-0{,}9}=\frac{-2{,}1}{0{,}1}=-21,\quad b_{m3}=f(1)-a_{m3}\cdot 1=1-(-21)=22.
Então
f_3(x)=-21x+22.
Carga x^2 linearizada entre x=0{,}9 e 1:
  • x^2(0{,}9)=0{,}81, x^2(1)=1.
a_{\ell3}=\frac{1-0{,}81}{1-0{,}9}=\frac{0{,}19}{0{,}1}=1{,}9,\quad b_{\ell3}=1-1{,}9\cdot 1=-0{,}9.
Logo
x^2_{\text{lin},3}=1{,}9x-0{,}9.
Diferença adimensional:
f_3(x)-x^2_{\text{lin},3}=(-21-1{,}9)x+(22-(-0{,}9))=-22{,}9x+22{,}9.
Note que isso se escreve de forma fatorada:
f_3(x)-x^2_{\text{lin},3}=22{,}9(1-x).
Portanto a diferença de torque (em N·m) é
C_m-C_{\text{load}}=20\cdot 22{,}9(1-x)=458(1-x).
Agora, o tempo no trecho seria
t_3 = K\int_{0{,}9}^{1}\frac{dx}{22{,}9(1-x)} = \frac{K}{22{,}9}\int_{0{,}9}^{1}\frac{dx}{1-x}.
Mas a integral \displaystyle\int_{0{,}9}^{1}\frac{dx}{1-x}=-\ln(1-x)\Big|_{0{,}9}^{1}=\ln\!\left(\frac{1-0{,}9}{1-1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}1}{0}\right) diverge para +\infty porque 1-x\to 0 quando x\to 1.
Interpretação física e matemática: como no ponto final x=1 (rotação nominal) as curvas de motor e carga coincidem ( C_m=C_{\text{load}}), o torque líquido tende a zero quando x\to 1. Isso produz uma aceleração que tende a zero e faz com que o tempo necessário para atingir exatamente x=1 seja matematicamente infinito (o sistema se aproxima assintoticamente da velocidade nominal). Portanto a integral no trecho 0{,}9-1 diverge.

Passo 6

Conclusão numérica do tempo total de partida conforme as aproximações pedidas:
  • Tempo no trecho 0 a 0{,}3: t_1\approx 0{,}125\\ \mathrm{s}.
  • Tempo no trecho 0{,}3 a 0{,}9: t_2\approx 0{,}284\\ \mathrm{s}.
  • Tempo no trecho 0{,}9 a 1: t_3=\infty (diverge).
Soma: t_{\text{total}}=t_1+t_2+t_3= valor finito + infinito =\infty.
Interpretação prática: o resultado matemático é que o tempo para atingir exatamente a rotação nominal é infinito. Em engenharia, usa-se um critério prático (por exemplo atingir 99\% ou 99{,}9\% de n_n) para obter um tempo finito. Se quiser, eu calculo também o tempo até 99\% ou 99{,}9\% do nominal; mas isso precisaria que eu prossiga integrando o trecho final até x=0{,}99 (ou outro valor) — posso fazer já se desejar.

Resposta

\displaystyle t_{\text{partida}}=\infty

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