Um carrinho de golfe e acionado por um motor CC, alimentado por um banco de baterias, através de um conversor CC-CC. Assuma que a massa total do carrinho já carregado seja de 600 kg, e que ele seja capaz de desenvolver uma velocidade máxima de
, mesmo subindo uma colina de até
. Sabe-se que existe uma redução de 3:1 (
) entre o motor e o eixo das rodas e que estas tem um diâmetro de 30 cm . Despreze os atritos e perdas na transmissão. Calcule a velocidade (rpm) e a potência máxima (kW) a serem solicitadas do motor numa subida.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a velocidade de giro (em rpm) e a potência máxima (em kW) solicitadas ao motor quando o carrinho sobe uma rampa de
a sua velocidade máxima de
. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
As duas quantidades a encontrar são: (i) velocidade do motor em rpm; (ii) potência solicitada ao motor em kW.
Passo 2
Primeiro convertemos a velocidade linear para unidades SI (m/s), porque as fórmulas de potência e velocidade angular usam o SI. A conversão é:
Expliquei: para passar de
para
divide-se por
(porque
).
Passo 3
Agora relacionamos velocidade linear da roda com sua velocidade angular. A relação entre velocidade linear
, velocidade angular da roda
(em rad/s) e raio
é
Logo
Substituindo
e
,
Comentário didático:
em rad/s é o que usamos para depois converter para rotações por minuto (rpm).
Passo 4
Converter
(rad/s) em rpm (rotações por minuto). Uma rotação corresponde a
radianos; para passar de rad/s para rpm usamos
Substituindo
,
Explicação: multiplicamos por
para ir de segundos a minutos, e dividimos por
para passar de radianos a voltas completas.
Passo 5
Agora usamos a redução entre motor e roda. A redução dada é
. Isso significa que o motor gira 3 vezes mais rápido que a roda:
Então
Arredondando de forma prática para a folha de prova podemos usar
.
Passo 6
Agora calculamos a potência necessária do motor para vencer a componente peso na subida. Sem atritos, a potência requerida é a taxa de variação da energia potencial por unidade de tempo:
. Para um movimento com velocidade constante
subindo com ângulo
, a componente da velocidade na direção vertical é
. Portanto a potência é
Aqui:
-
é a massa ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a velocidade horizontal do veículo ( ), -
é o ângulo da rampa ( ).
Passo 7
Substituímos numericamente:
Sabendo que
,
Convertendo para kW:
Comentário: este é o valor da potência mecânica necessária no eixo do motor (já que desprezamos perdas).]