Um carrinho de golfe e acionado por um motor CC, alimentado por um banco de baterias, através de um conversor CC-CC. Assuma que a massa total do carrinho já carregado seja de 600 kg, e que ele seja capaz de desenvolver uma velocidade máxima de 18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, mesmo subindo uma colina de até 20^{\circ}. Sabe-se que existe uma redução de 3:1 ( \mathrm{w}_{\mathrm{m}} / \mathrm{wr} ) entre o motor e o eixo das rodas e que estas tem um diâmetro de 30 cm . Despreze os atritos e perdas na transmissão. Calcule a velocidade (rpm) e a potência máxima (kW) a serem solicitadas do motor numa subida.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a velocidade de giro (em rpm) e a potência máxima (em kW) solicitadas ao motor quando o carrinho sobe uma rampa de 20^\circ a sua velocidade máxima de 18\\ \mathrm{km/h}. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{massa total: } m = 600\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{velocidade máxima: } 18\\ \mathrm{km/h},\\\ &\text{ângulo da rampa: } \theta = 20^\circ,\\\ &\text{redução entre motor e roda: } \frac{\omega_m}{\omega_r} = 3:1,\\\ &\text{diâmetro das rodas: } D = 0{,}30\\ \mathrm{m} \Rightarrow \text{raio } r = 0{,}15\\ \mathrm{m},\\\ &\text{desprezar atritos e perdas na transmissão.} \end{aligned}áâçãâã
As duas quantidades a encontrar são: (i) velocidade do motor em rpm; (ii) potência solicitada ao motor em kW.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade linear para unidades SI (m/s), porque as fórmulas de potência e velocidade angular usam o SI. A conversão é:
v = \frac{18\\ \mathrm{km/h}}{3{,}6} = 5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: para passar de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s} divide-se por 3{,}6 (porque 1\\ \mathrm{km/h} = \tfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \tfrac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}).

Passo 3

Agora relacionamos velocidade linear da roda com sua velocidade angular. A relação entre velocidade linear v, velocidade angular da roda \omega_r (em rad/s) e raio r é
v = \omega_r \, r.
Logo
\omega_r = \frac{v}{r}.
Substituindo v=5{,}0\\ \mathrm{m/s} e r=0{,}15\\ \mathrm{m},
\omega_r = \frac{5{,}0}{0{,}15} = 33{,}333\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Comentário didático: \omega_r em rad/s é o que usamos para depois converter para rotações por minuto (rpm).

Passo 4

Converter \omega_r (rad/s) em rpm (rotações por minuto). Uma rotação corresponde a 2\pi radianos; para passar de rad/s para rpm usamos
\text{rpm}_{\text{roda}} = \omega_r \cdot \frac{60}{2\pi}.
Substituindo \omega_r = 33{,}333\ldots,
\text{rpm}_{\text{roda}} = 33{,}333\ldots \cdot \frac{60}{2\pi} \approx 318{,}31\\ \mathrm{rpm}.
Explicação: multiplicamos por 60 para ir de segundos a minutos, e dividimos por 2\pi para passar de radianos a voltas completas.

Passo 5

Agora usamos a redução entre motor e roda. A redução dada é \dfrac{\omega_m}{\omega_r}=3. Isso significa que o motor gira 3 vezes mais rápido que a roda:
\text{rpm}_{\text{motor}} = 3 \cdot \text{rpm}_{\text{roda}}.
Então
\text{rpm}_{\text{motor}} = 3 \cdot 318{,}31 \approx 954{,}93\\ \mathrm{rpm}.
Arredondando de forma prática para a folha de prova podemos usar \approx 955\\ \mathrm{rpm}.

Passo 6

Agora calculamos a potência necessária do motor para vencer a componente peso na subida. Sem atritos, a potência requerida é a taxa de variação da energia potencial por unidade de tempo: P = \dfrac{d}{dt}(mgh). Para um movimento com velocidade constante v subindo com ângulo \theta, a componente da velocidade na direção vertical é v\sin\theta. Portanto a potência é
P = m g (v\sin\theta).
Aqui:
  • m é a massa ( 600\\ \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • v é a velocidade horizontal do veículo ( 5{,}0\\ \mathrm{m/s}),
  • \theta é o ângulo da rampa ( 20^\circ).

Passo 7

Substituímos numericamente:
\begin{aligned} P &= 600\cdot 9{,}81\cdot 5{,}0 \cdot \sin(20^\circ)\\[4pt] &= 29430 \cdot \sin(20^\circ). \end{aligned}
Sabendo que \sin(20^\circ)\approx 0{,}3420201433,
P \approx 29430 \cdot 0{,}3420201433 \approx 10059{,}53\\ \mathrm{W}.
Convertendo para kW:
P \approx 10{,}06\\ \mathrm{kW}.
Comentário: este é o valor da potência mecânica necessária no eixo do motor (já que desprezamos perdas).]

Resposta

\text{rpm}_{\text{motor}} \approx 955\\ \mathrm{rpm}
P \approx 10{,}06\\ \mathrm{kW}

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