Exemplo 12 - Considere os seguintes sinais senoidais:
Determine se cada sinal é periódico, e se for, encontre o seu período fundamental.
x(t)=\cos \frac{\pi}{3} t+\operatorname{sen} \frac{\pi}{4} t

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}t\right)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}t\right)
e pede para determinar, para cada sinal componente e para a soma, se são periódicos e, caso sejam, encontrar o período fundamental. Informações relevantes fornecidas: os argumentos angulares das funções trigonométricas são \frac{\pi}{3}t e \frac{\pi}{4}t.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sinal senoidal ser periódico. Uma função senoidal da forma \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) repete seus valores sempre que o argumento \omega t aumenta em 2\pi. Isso dá a relação entre a pulsação (ou frequência angular) \omega e o período T:
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aqui \omega é a velocidade (em rad/s) com que o argumento avança quando t aumenta de uma unidade; T é o menor intervalo positivo de tempo após o qual a função volta ao mesmo valor (período fundamental). Essa fórmula vem do fato de que \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta e \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta.

Passo 3

Identificamos as frequências angulares das duas componentes:
\omega_1=\frac{\pi}{3}\quad\text{para}\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}t\right),
\omega_2=\frac{\pi}{4}\quad\text{para}\quad \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}t\right).

Passo 4

Calculamos os períodos fundamentais de cada componente usando T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Para a primeira componente:
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{\pi/3}=2\pi\cdot\frac{3}{\pi}=6.
Portanto a função \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}t\right) é periódica com período fundamental T_1=6.
Para a segunda componente:
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{\pi/4}=2\pi\cdot\frac{4}{\pi}=8.
Portanto \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}t\right) é periódica com período fundamental T_2=8.

Passo 5

Agora: quando a soma de duas funções periódicas é periódica? Seja f(t) com período T_1 e g(t) com período T_2. A soma f(t)+g(t) será periódica se existir um T>0 tal que T seja múltiplo inteiro de ambos T_1 e T_2, ou seja, existam inteiros n_1,n_2 tais que
T=n_1T_1=n_2T_2.
O menor T>0 com essa propriedade é o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) de T_1 e T_2. Outro jeito de checar rapidamente é ver se a razão T_1/T_2 é um número racional; se for, existe um MMC finito.

Passo 6

Calculamos a razão:
\frac{T_1}{T_2}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},
que é racional. Logo existe um período comum e a soma é periódica.

Passo 7

Encontramos o período fundamental da soma como o MMC de T_1 e T_2. Podemos usar fatoração ou a fórmula \operatorname{lcm}(a,b)=\dfrac{|a b|}{\gcd(a,b)}.
Fatorando: 6=2\cdot3 e 8=2^3. O MMC pega as potências primárias máximas: 2^3\cdot3=8\cdot3=24. Pela outra fórmula, \gcd(6,8)=2 e \operatorname{lcm}(6,8)=\dfrac{6\cdot8}{2}=24. Então o menor T>0 com T=n_1T_1=n_2T_2 é
T_0=24.

Passo 8

Verificação direta (para ficar tranquilo): calculemos as funções deslocadas em t+24.
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}(t+24)\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}t+\frac{\pi}{3}\cdot24\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}t+8\pi\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}t\right),
pois 8\pi é múltiplo de 2\pi.
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}(t+24)\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{4}\cdot24\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}t+6\pi\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}t\right),
pois 6\pi também é múltiplo de 2\pi. Assim x(t+24)=x(t). E como 24 é o menor múltiplo comum de 6 e 8, não existe período positivo menor que 24 que sirva para ambas as componentes simultaneamente; logo 24 é o período fundamental da soma.

Resposta

x(t) é periódico com período fundamental T_0=24.

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