Exemplo 18 - Mostre que o sistema abaixo é BIBO estável
y[n]=\frac{1}{3}(x[n]+x[n-1]+x[n+2])
Passo 1
Enunciado dado: a saída do sistema discreto é
y[n]=\frac{1}{3}\bigl(x[n]+x[n-1]+x[n+2]\bigr).
Pergunta: mostrar que esse sistema é BIBO estável.
Informações relevantes que o enunciado dá: \;x[n] é a entrada (sinal discreto), \;y[n] é a saída.
Os termos envolvendo \;x são \;x[n], \;x[n-1] e \;x[n+2].
O sistema é linear (combinações lineares da entrada) e tempo-invariante (os coeficientes não dependem de n).
Não há mais dados numéricos além do fator \tfrac{1}{3}.
Passo 2
Definição de BIBO estabilidade (explicação didática):
Um sistema discreto é BIBO estável se para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Mais formalmente: se existe uma constante finita B_x tal que
\lvert x[n]\rvert \le B_x\quad\text{para todo }n,
então deve existir uma constante finita B_y tal que
\lvert y[n]\rvert \le B_y\quad\text{para todo }n.
Para sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) existe um critério prático: um sistema LTI é BIBO estável se, e somente se, a sua resposta ao impulso h[n] for absolutamente somável, isto é,
Vou explicar o que é resposta ao impulso e porque isso vale: a resposta ao impulso h[n] é a saída do sistema quando a entrada é o impulso discreto \delta[n] (que vale 1 em n=0 e 0 em outros índices). Para um sistema LTI qualquer saída pode ser escrita como convolução
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k],
e a condição de soma absoluta finita de h[k] garante que a soma convolutiva de coeficientes finitos com um x[n] limitado produza um y[n] limitado.
Passo 3
Determinar a resposta ao impulso h[n] do sistema (explicando o raciocínio passo a passo):
Por definição, h[n] é a saída quando x[n]=\delta[n]. Portanto substituímos x[n]=\delta[n] na equação do sistema:
Aqui usei que \delta[n-k] representa um impulso deslocado: \delta[n-k] é 1 apenas quando n=k. Observação sobre índices: o termo \delta[n+2] é o mesmo que \delta[n-(-2)], ou seja, há um coeficiente nonzero em n=-2. Podemos escrever h[n] também como soma de “pulsos” (deltas) colocados nas posições apropriadas:
Outra forma útil (para ver os índices) é escrever os valores de h[n] ponto a ponto: h[0]=\tfrac{1}{3}, h[1]=\tfrac{1}{3}, h[-2]=\tfrac{1}{3}, e para todo outro n temos h[n]=0.
Passo 4
Aplicar o critério de soma absoluta (explicando a fórmula e cada passo):
O critério diz para calcular
\sum_{k=-\infty}^{\infty}\lvert h[k]\rvert.
Sabemos que h[k] é zero para todos os k exceto k=-2,0,1. Então a soma reduz-se aos três termos onde h é não-nulo:
Como 1 é finito, concluímos que \sum_{k=-\infty}^{\infty}\lvert h[k]\rvert < \infty.
Passo 5
Concluir a partir do critério LTI:
Pelo resultado do passo anterior (a resposta ao impulso é absolutamente somável), e pela propriedade teórica que relaciona soma absoluta de h[n] com BIBO estabilidade para sistemas LTI, concluímos que o sistema é BIBO estável.
Passo 6
Prova alternativa direta (mais elementar) usando a definição BIBO — útil para a prova sem mencionar convolução:
Suponha que a entrada seja limitada, isto é, exista B_x tal que \lvert x[n]\rvert \le B_x para todo n. Então para qualquer n temos
Logo a saída é limitada por B_x, uma constante finita. Isso mostra diretamente que qualquer entrada limitada produz saída limitada, ou seja, o sistema é BIBO estável. (Repare que o limite encontrado é exatamente B_x; poderia ser outro número finito — o importante é que é finito.)