Exemplo 18 Seja T: V V um operador linear, com polinômio característico pT(x)= (x-3)^2(x-1)^3(x+5). Quais os possíveis candidatos a polinômio minimal de T ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um operador linear que tem um polinômio característico dado por . A gente precisa descobrir quais são os possíveis polinômios mínimos de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente relacionados aos polinômios característico e mínimo de um operador linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que nos dá informações sobre os autovalores de um operador linear e suas multiplicidades algébricas. No caso, nos diz que os autovalores de são 3, 1 e -5, com multiplicidades algébricas 2, 3 e 1, respectivamente.

Passo 3

Agora, o polinômio mínimo é o menor polinômio monico (com coeficiente líder igual a 1) tal que . Esse polinômio também divide o polinômio característico e tem a mesma raiz que este, mas com multiplicidades que dependem das multiplicidades geométricas, ou seja, do tamanho das maiores cadeias generalizadas de cada autovalor.

Passo 4

Para cada autovalor, a multiplicidade no polinômio mínimo é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan correspondente a esse autovalor. Isso significa que para o autovalor 3, que tem multiplicidade 2 no polinômio característico, a multiplicidade no polinômio mínimo pode ser 1 ou 2. Já para o autovalor 1, com multiplicidade 3, a multiplicidade no mínimo pode ser 1, 2 ou 3. O autovalor -5 tem multiplicidade 1, então sua multiplicidade no mínimo também será 1.

Passo 5

Então, para construir os possíveis polinômios mínimos, vamos considerar todas as combinações das multiplicidades possíveis para cada autovalor:
  • Para (x-3): expoente pode ser 1 ou 2.
  • Para (x-1): expoente pode ser 1, 2 ou 3.
  • Para (x+5): expoente é sempre 1.

Passo 6

Vamos listar todas as combinações possíveis multiplicando os fatores correspondentes:

Resposta

Os possíveis candidatos para o polinômio mínimo de são:

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