Exemplo 18 Seja
um operador linear, com polinômio característico
. Quais os possíveis candidatos a polinômio minimal de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um operador linear
que tem um polinômio característico dado por
. A gente precisa descobrir quais são os possíveis polinômios mínimos de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente relacionados aos polinômios característico e mínimo de um operador linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que nos dá informações sobre os autovalores de um operador linear e suas multiplicidades algébricas. No caso,
nos diz que os autovalores de
são 3, 1 e -5, com multiplicidades algébricas 2, 3 e 1, respectivamente.
Passo 3
Agora, o polinômio mínimo
é o menor polinômio monico (com coeficiente líder igual a 1) tal que
. Esse polinômio também divide o polinômio característico e tem a mesma raiz que este, mas com multiplicidades que dependem das multiplicidades geométricas, ou seja, do tamanho das maiores cadeias generalizadas de cada autovalor.
Passo 4
Para cada autovalor, a multiplicidade no polinômio mínimo é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan correspondente a esse autovalor. Isso significa que para o autovalor 3, que tem multiplicidade 2 no polinômio característico, a multiplicidade no polinômio mínimo pode ser 1 ou 2. Já para o autovalor 1, com multiplicidade 3, a multiplicidade no mínimo pode ser 1, 2 ou 3. O autovalor -5 tem multiplicidade 1, então sua multiplicidade no mínimo também será 1.
Passo 5
Então, para construir os possíveis polinômios mínimos, vamos considerar todas as combinações das multiplicidades possíveis para cada autovalor:
- Para (x-3): expoente pode ser 1 ou 2.
- Para (x-1): expoente pode ser 1, 2 ou 3.
- Para (x+5): expoente é sempre 1.
Passo 6
Vamos listar todas as combinações possíveis multiplicando os fatores correspondentes:
Resposta
Os possíveis candidatos para o polinômio mínimo de
são: