Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída
. Determine se ele é
invariante no tempo
invariante no tempo
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: o sistema é definido pela relação entrada–saída
A pergunta do enunciado é: o sistema é invariante no tempo? (ou seja, a propriedade de invariança no tempo deve valer para qualquer entrada
e para qualquer deslocamento temporal
).
Passo 2
Definição de invariança no tempo (explicada passo a passo): um sistema
é invariante no tempo se, para toda entrada
e para qualquer deslocamento temporal
, a saída produzida pela entrada deslocada
é exatamente a saída original deslocada no tempo. Em símbolos:
onde
. Aqui:
-
representa o sistema que transforma uma entrada em saída; -
é a entrada original deslocada no tempo por ; -
é a saída original deslocada no tempo por .
Se a igualdade acima for verdadeira para todoe todo , o sistema é invariante no tempo; caso contrário, é variante.
Passo 3
Calcule a saída do sistema quando a entrada é a entrada deslocada
. Aplicando a lei do sistema:
Note que o fator
permanece com argumento
porque, na expressão do sistema, a multiplicação pelo cosseno depende do tempo absoluto
.
Passo 4
Calcule agora a saída original deslocada no tempo, isto é,
. Como a saída original é
, temos
Passo 5
Compare as duas expressões encontradas. Para invariança no tempo precisaríamos de
para todo
, todo
e todo
. Isso exige que, independentemente de
, se tenha
o que não é verdade em geral — essa igualdade só ocorre para valores especiais de
(por exemplo, quando
é múltiplo de
), mas não para todo
.
Passo 6
Contraexemplo explícito (forma direta de demonstrar que o sistema não é invariante): escolha a entrada constante
para todo
. Então:
- resposta ao deslocamento da entrada:
- resposta deslocada:
Escolha, por exemplo,
. Então
e
que difere de
salvo nos instantes em que
. Portanto
para essa escolha de
e
, o que basta para concluir que o sistema não é invariante no tempo.
Passo 7
Interpretação intuitiva e conclusão didática: o fator
introduz uma dependência explícita do tempo absoluto na lei do sistema. Sempre que a equação do sistema contém termos que dependem de
de forma não apenas via a entrada
, o sistema tende a ser variante no tempo, pois o “módulo” aplicado à entrada muda se você deslocar no tempo. Aqui esse é exatamente o caso: multiplicar por
altera o resultado se repetirmos a entrada deslocada, salvo em casos degenera- dos (deslocamentos específicos), portanto o sistema é variante no tempo.
Resposta
O sistema não é invariante no tempo.