Dê um exemplo para cada um dos casos abaixo:
Produto de irracionais que resulta em um número irracional;
Produto de irracionais que resulta em um número irracional;
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de dois números irracionais cujo produto também seja irracional. O conteúdo usado é a definição de número irracional e uma prova por absurdo para mostrar que um certo produto não pode ser racional.
Passo 2
Escolhemos
sabendo que
e
são irracionais clássicos.
Passo 3
O produto é
Vamos provar que
é irracional por absurdo.
Passo 4
Suponha que
seja racional. Então existem inteiros coprimos
e
tais que
Daí
é múltiplo de
, logo
é par, e
é múltiplo de
, logo
é múltiplo de
. Assim,
é múltiplo de
. Escrevendo
, teríamos
o que implica que
também é múltiplo de
. Isso contradiz o fato de
e
serem coprimos. Logo,
não pode ser racional.
Resposta
Um exemplo é
onde
e
são irracionais e seu produto
também é irracional.