Dê um exemplo para cada um dos casos abaixo:
Produto de irracionais que resulta em um número irracional;

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de dois números irracionais cujo produto também seja irracional. O conteúdo usado é a definição de número irracional e uma prova por absurdo para mostrar que um certo produto não pode ser racional.

Passo 2

Escolhemos
a = \sqrt{2} \quad\text{e}\quad b = \sqrt{3},
sabendo que \sqrt{2} e \sqrt{3} são irracionais clássicos.

Passo 3

O produto é
ab = \sqrt{2}\,\sqrt{3} = \sqrt{6}.
Vamos provar que \sqrt{6} é irracional por absurdo.

Passo 4

Suponha que \sqrt{6} seja racional. Então existem inteiros coprimos p e q tais que
\sqrt{6} = \frac{p}{q} \quad\Longrightarrow\quad 6 = \frac{p^2}{q^2} \quad\Longrightarrow\quad p^2 = 6\,q^2.
Daí p^2 é múltiplo de 2, logo p é par, e p^2 é múltiplo de 3, logo p é múltiplo de 3. Assim, p é múltiplo de 6. Escrevendo p=6k, teríamos
(6k)^2 = 6\,q^2 \quad\Longrightarrow\quad 36\,k^2 = 6\,q^2 \quad\Longrightarrow\quad 6\,k^2 = q^2,
o que implica que q também é múltiplo de 6. Isso contradiz o fato de p e q serem coprimos. Logo, \sqrt{6} não pode ser racional.

Resposta

Um exemplo é
\sqrt{2}\times\sqrt{3} = \sqrt{6},
onde \sqrt{2} e \sqrt{3} são irracionais e seu produto \sqrt{6} também é irracional.

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